49 Вопрос:

Повт. Предел: Для функции нескольких переменных можно определить понятие предела по одной из переменных при фиксированных значениях остальных переменных. В связи с этим возникает понятие повторного предела.

Пусть функция n переменных u = f(x) = f(x₁, x₂,  … , x_n) определена в некоторой окрестности точки a = (a₁, a₂,  … , a_n)  Rⁿ , за исключением, быть может, самой точки a.

Определение 1. Число A называется пределом функции f(x) в точке a = (a₁, a₂,  … , a_n), если

ε > 0   δ _ε > 0 :    x  O_δ(a)  |f(x) − A| < ε

Обозначение: 

lim

x → a

 f(x) = A.

В пространстве R² предел функции f(x,y) в точке a(a₁, a₂) принято обозначать следующим образом:

lim

x → a1 y → a2

  f(x, y) = A.     или     

lim

x → a1 y → a2

  f(x, y) = A.

Замечания.

1. Определение предела функции n переменных в точности совпадает с определением предела функции одной переменной, только окрестность точки a теперь не интервал (a − δ,a + δ), а n–мерный открытый шар

(x₁ − a₁)² + (x₂ − a₂)² + … + (x_n − a_n)²   < δ².

2. Если a — граничная точка области определения D(f) функции f, то определение предела уточняется следующим образом (аналогично понятию одностороннего предела функции одной переменной):

ε >0    δ_ε > 0:   x  O_δ(a) ∩ D(f)  |f(x) − A|<ε.

Теорема 1. Пусть функции n переменных f(x) и g(x), определены в области D  Rⁿ и для некоторой точки a

lim

x → a

 f(x) = A  и   

lim

x → a

 g(x) = B.

Тогда

lim

x → a

 [f(x) + g(x)] = A + B,    

lim

x → a

 f(x) · g(x) = A · B,    и при B ≠ 0   

lim

x → a

 

f(x)

g(x)

 = 

A

B

 .

Теорема доказывается так же, как для функции одной переменной.

Определение 2. Функция f(x) называется бесконечно малой в точке a, если 

lim

x → a

 f(x) = 0.

Определения и теоремы о бесконечно малых функций одной переменной справедливы для бесконечно малых функций нескольких переменных.

50 Вопрос:

-

51 Вопрос:

В математическом анализе, частная производная — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.

В явном виде частная производная функции определяется следующим образом:

Следует обратить внимание, что обозначение следует понимать как цельный символ, в отличие от обычной производной функции одной переменной , которую можно представить, как отношение дифференциалов функции и аргумента. Однако, и частную производную можно представить как отношение дифференциалов, но в этом случае необходимо обязательно указывать, по какой переменной осуществляется приращение функции: , где — частный дифференциал функции по переменной . Часто непонимание факта цельности символа является причиной ошибок и недоразумений, как, например, сокращение в выражении . (подробнее см. Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»).

Геометрически, частная производная является производной по направлению одной из координатных осей. Частная производная функции в точке по координате равна производной по направлению , где единица стоит на -ом месте.