Побудова геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки. Задачі на побудову

Плоска геометрична фігура може бути задана своїми власти­востями або елементами. Часто постає задача побудувати її. Побу­дова фігур на площині здійснюється за допомогою креслярських інструментів. Набори цих інструментів можуть бути різними. По­будова геометричних фігур за допомогою вказаного набору ін­струментів за даними елементами фігур називається задачею на побудову.

Розв’язування таких задач полягає не стільки в побудові фі­гури, скільки в одержанні відповіді на питання про те, як це зро­бити, і його обгрунтуванні. Задача вважається розв’язаною, якщо вказано спосіб побудови і доведено, що в результаті виконання побудов справді одержується фігура, яка задовольняє сформульо­ваним умовам.

Розв’язування задачі на побудову складається з чотирьох етапів:

1. аналізу, в якому шукаються шляхи виконання побудови;

2. побудови, де описується план виконання побудови шуканої фігури, а також виконується сама побудова;

3. доведення, в якому обгрунтовується, що побудована фігура є шуканою;

4. дослідження, де встановлюється, за яких умов задача має: розв'язки, та їх кількість.

З часів Стародавньої Греції в геометрії прийнято за основні креслярські інструменти лінійку та циркуль. Вони і сьогодні є основними креслярськими інструментами шкільного курсу гео­метрії. Кожен з них дає можливість розв’язати певні геометричні задачі на побудову.

За допомогою лінійки, як інструмента геометричних побу­дов, можна побудувати:

1. довільну пряму;

2. довільну пряму, що проходить через задану точку;

3. пряму, що проходить через дві задані точки.

Ніяких інших побудов за допомогою лінійки робити не можна. Зокрема, не можна відкладати відрізки навіть тоді, коли на лінійці є поділки.

За допомогою циркуля як інструмента геометричних побудов, можна побудувати:

1. коло довільного радіуса з центром у будь-якій точці;

2. коло довільного радіусі з центром у даній точці;

3. коло з даним радіусом і довільним центром;

4. коло з даними центром і радіусом:

5. відрізок, що дорівнює даному, на заданій прямій у даному напрямі.

За допомогою циркуля та лінійки можна розв’язати значно більше задач на побудову. Серед них виділяють простіші задачі, відомі з курсу математики середньої школи і на підставі яких розв’язуються інші задачі:

1. побудова суми двох відрізків;

2. побудова різниці двох відрізків;

3. поділ відрізка навпіл, або знаходження його середини;

4. поділ кута навпіл, або проведення бісектриси кута;

5. побудова кута, що дорівнює даному;

6. побудова прямої, що проходить через задану точку і пара­лельна даній прямій;

7. побудова перпендикуляра з даної точки до заданої прямої;

8. поділ відрізка на п рівних між собок\частин;

9. побудова дотичної до кола з точки поза ним;

10. побудова дотичної до кола в даній точці кола;

1 1) побудова трикутника за трьома сторонами;

12. побудова трикутника за двома сторонами і кутом між ними;

13. побудова трикутника за стороною і двома прилеглими до неї кутами.

Задача І. Побудувати трикутник за двома сторонами і меді­аною до третьої сторони.

1. Аналіз задачі. Припустимо, що шуканий трикутник побудовано, тобто трикутник АВС такий, у якому ВС = а, АС =Ь, і СМ є медіаною, причому СМ = т_с (рис. 4).

Якщо на пївпрямій СМ від точки М відкласти відрізок МF= т_с і точку F з’єднати з вершинами А і В, то чотирикутник АСВF буде паралелограмом, бо в нього діагоналі точкою перетину діляться навпіл. Отже, ВF = АС і трикутник ВСF можна побудувати за трьома сторонами. Точку М, яка є серединою відрізка СF, знайти можна, а тому можна знайти і точку А. З аналізу задачі одержує­мо план побудови.

Геометричне тіло є найважливішою просторовою формою.

У навколишньому нас світі зустрічаються різні тіла: парти, будинку, машини і т.д.

Фігура називається просторовою, якщо не існує площини, якій би належали всі точки цієї фігури. У своїй практичній діяльності людина завжди фактично має справу з просторовими фігурами.

Існують інструменти, які залишають слід на площині (наприклад, олівець, пензель тощо), але не існує такого інструмента, який би залишав сліди при русі в просторі. Тому кожний плоский предмет невеликих розмірів можна зобразити на папері, і тут не виникає питання про методи його зображення. Фігура, зображення якої одержують на площині, називається оригіналом а плоска фігура, що відтворює оригінал, - зображенням.

Серед просторових геометричних фігур виділяють так звані геометричні тіла (або просто тіла). На інтуїтивному рівні геометричне тіло - це реальне фізичне тіло, яке розглядається, абстрагуючись від усіх його властивостей, крім просторової протяжності.

Можна сказати ще й так: під геометричним тілом розуміють частину простору, яку займає фізичне тіло. Варто пам'ятати, що хоч у геометрії розглядаються порівняно прості тіла, але більшість реальних тіл, хоч би яку складну форму вони не мали, можна розглядати (у відповідній абстракції і, звичайно, наближено) як геометричні. Щоб дати означення геометричного тіла, введемо деякі поняття.

Околом точки простору називається множина всіх точок простору, відстань яких від даної точки менша від заданого додатного числа.

Точка називається внутрішньою точкою фігури, якщо вона належить фігурі разом з деяким її околом.

Фігура називається відкритою (областю), якщо всі її точки внутрішні.

Точка називається межовою для даної фігури, якщо в будь-якому її околі є точки, що належать і не належать фігурі. Межова точка може як належати, так і не належати фігурі. Множину всіх межових точок фігури називають її межею або поверхнею.

Просторова фігура називається тілом, якщо

1) вона має внутрішні точки,

2) межа фігури належить їй,

3) будь-які дві точки фігури можна з'єднати ламаною, всі точки якої, за винятком, можливо, кінців, є внутрішніми точками фігури.

Межа тіла також називається його поверхнею. Тіло називається обмеженим, якщо існує додатне число, таке, що відстань між довільними двома точками тіла менша від цього числа.

З означення фігури та тіла видно, що не всі просторові фігури є тілами. Так, фігура, яка є об'єднанням двох фігур, перерізом яких є точка або лінія, тілом не буде. Крім того, поверхня тіла має прилягати до внутрішніх точок, тому фігури типу капелюха чи конуса зі шпилем не будуть тілами.

Многогранники, їх види й зображення на площині

Многогранник є аналогом простого плоского многокутника на площині.

Многогранником називається обмежене тіло, поверхня якого складається зі скінченної кількості многокутників, які називаються його гранями. Сторони граней називаються ребрами многогранника, вершини граней - вершинами многогранника. Многогранник називається опуклим, якщо він лежить по один бік від площини, якій належить будь-яка його грань. Призмою називається многогранник, у якого дві грані, що називаються основами призми, - рівні між собою многокутники, в яких відповідні сторони паралельні, а інші грані - паралелограми, в кожного з яких дві сторони є відповідними сторонами основ. Грані призми, що не є основами, називаються бічними, а ребра, які не належать основам призми, - бічними ребрами.

Теорема 1. Основи призми лежать у паралельних площинах. Візьмемо по дві відповідні суміжні сторони основ призми. За визначенням призми вони паралельні, тоді, за ознакою паралельності площин, основи призми лежать у паралельних площинах, бо в них знайшлися по дві паралельні між собою прямі, що перетинаються (суміжні сторони основ).

Перпендикуляр, опущений з однієї основи призми на другу, а також довжина цього перпендикуляра називаються висотою призми

Призма, основою якої є «п-кутник, називається п-кутною. Призма, бічні ребра якої перпендикулярні до основ, називається прямою. Висота прямої призми є або довжиною бічного ребра, або самим ребром.

Призма називається правильною, якщо вона пряма і в основі її лежить правильний п -кутник.

Щоб отримати рисунок призми на площині, треба спочатку зобразити одну з основ призми, а потім з кожної вершини основи провести рівні і паралельні між собою бічні ребра, послідовно з'єднавши кінці яких, одержимо зображення призми (рис. 2).

Призма, в основі якої лежить паралелограм, називається

паралелепіпедом.

Паралелепіпед називається прямим, якщо його бічні ребра перпендикулярні до площини основи. В прямому паралелепіпеді всі бічні грані є прямокутниками, а основи - паралелограмами. Прямий паралелепіпед, в основі якого лежить прямокутник, називається прямокутним. У прямокутному паралелепіпеді всі грані є прямокутниками. Довжини трьох ребер прямокутного паралелепіпеда, що виходять з однієї з його вершин, називаються лінійними його розмірами (вимірами).

Прямокутний паралелепіпед, у якого всі бічні ребра рівні між

собою, називається кубом.

При зображенні довільного паралелепіпеда потрібно пам'ятати, що його основи завжди є паралелограмами, решта побудов здійснюється так, як і для призми (рис. 3).

Пірамідою називається многогранник, у якого однією гранню, що називається основою,, є довільний многокутник, а всі інші грані є трикутниками, що мають спільну вершину. Спільна вершина всіх трикутників називається вершиною піраміди. Ребра піраміди, які з'єднують основу піраміди та її вершину, називаються бічними ребрами. Перпендикуляр, опущений з вершини піраміди на площину її основи, а також довжина цього перпендикуляра називаються висотою піраміди. Піраміда, в основі якої лежить п-кутник, називається п-кутною.

Піраміда називається правильною, якщо в її основі лежить правильний многокутник і висота піраміди падає в центр многокутника.

Щоб одержати рисунок піраміди на площині, потрібно спочатку зобразити її основу і вершину, яку з'єднати потім з вершинами основ (рис. 4).

Опуклий многогранник називається правильним, якщо всі його грані є правильними, рівними між собою, пкутниками і в кожній вершині сходиться однакова кількість ребер. Встановлено, що існує тільки п'ять видів правильних многогранників, їх називають також тілами Платона.

Правильний чотиригранник (правильний тетраедр): всі грані - правильні, рівні між собою трикутники і в кожній вершині сходяться три ребра (рис. 5, а).

Правильний шестигранник (правильний гексаедр, куб): всі грані - рівні між собою, квадрати і в кожній вершині сходяться три ребра (рис. 5, б).

Правильний восьмигранник (правильний октаедр): всі грані -правильні, рівні між собою, трикутники і в кожній вершині сходяться чотири ребра (рис. 5, в).

Правильний дванадцятигранник (правильний додекаедр): всі грані - правильні, рівні між собою п'ятикутники і в кожній вершині сходяться три ребра (рис. 5, г).

Правильний двадцятигранник (правильний ікосаедр): всі грані - правильні, рівні між собою, трикутники і в кожній вершині сходяться п'ять ребер (рис. 5, д).

Кожен з правильних многогранників можна дістати за допомогою перетину куба певними площинами. Всі правильні много-гранники, за винятком правильного тетраедра, мають центр симетрії.

Всі типи правильних многогранників були відомі старогрецьким геометрам.

Тіла Платона набули широкого застосування в кристалографії, бо більшість кристалів мають форму правильних многогранників. Наприклад, кухонна сіль має кристали кубічної системи, алмаз здебільшого кристалізується у вигляді октаедрів і т.д.

У плоскому многокутнику основними його елементами є вершини і сторони, причому у многокутнику завжди кількість вершин дорівнює кількості його сторін. У просторі аналогом багатокутника є многогранник, основними елементами якого є вершини, ребра і грані. Виникає питання про залежність між кількістю вершин, ребер і граней многогранника. Виявляється, що для деяких видів многогранників таку залежність можна встановити. Позначимо В - кількість вершин, Р - кількість ребер і Г - кількість граней многогранника. Леонардом Ейлером (1708-1783) було доведено, що для будь-якого опуклого многогранника має місце рівність

В-Р + Г = 2.

Сформульоване твердження називається теоремою Ейлера для многогранників. Вона має місце не тільки для опуклих многранників, а й для довільних многогранників, які без розривів і склеювань можна деформувати в кулю.

Многогранники, для яких справедлива теорема Ейлера, називаються простими.