Лекція5- 6.

Плоскі та просторові геометричні фігури

Система геометричних понять шкільного курсу математики. Ламана і многокутник. Побудова геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки.. Задачі на побудову. Геометричні задачі.

Основні поняття теми: геометрична фігура, ламана, многокутник.

Практичне заняття 7. Геометричні задачі на побудову за допомогою циркуля і лінійки.

План

1. З історії виникнення і розвитку геометрії.

2. . СИСТЕМА ГЕОМЕТРИЧНИХ ПОНЯТЬ ШКІЛЬНОГО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

3. ПЛОСКІ ГЕОМЕТРИЧНІ ФІГУРИ .

4. Побудова геометричних фігур за допомогою циркуля і лінійки. Задачі на побудову.

5. Властивості геометричних фігур

Матеріал даного розділу відомий з шкільного курсу геометрії, де він був представлений в системі, яка дозволяє дати визначення геометричних фігур і довести їх основні властивості.

В нашому курсі математики встановлюється задача – повторити вивчення в шкільному курсі, опускаючи, як правило, доведення і виділяючи матеріал найбільш важливий для вчителя початкових класів в професійному відношенні.

При цьому припускається, що при розвитку вміння доводити математичні твердження, необхідного вчителю, буде сприяти вирішенню геометричних задач.

Геометрія зародилася в Давньому Єгипті як набір правил для рішення практичних задач, при виникненні в будівництві, при розподілі земельних ділянок, вимірюванні площі, об’єму та інших величин. Свіченням цьому є єгипетські піраміди, споруджені біля 4800 років тому, для їх будівництва необхідні були достатньо складні та точні геометричні розрахунки. Але особливо важливою була задача розподілу земельних ділянок. Цим займалися спеціальні люди – землемери, яких греки називали гарпедонаптами, тобто натягувачами мотузок, так як при розподілі землі використовувалися мотузки. Але для того щоб знати, де і як їх натягувати, потрібно було мати план полів. Так практична задача розподілу ділянок землі призвела до виникнення науки геометрія.

Широкі знання про фігури, накопичені єгиптянами були запозичені греками. Було це в V – VII вв. до н.е. А так, як особливо важливою задачею було землевимірювання, то греки назвали науку про фігури геометрією (від греч. “геос” – земля та “метріо” – вимірюю).

Великий вплив у розвиток геометричних уявлень справили систематичні астрономічні спостереження, що привели до виникнення поняття кулі, кола, кута, кутових мір.

Розвиток землеробства, узагальнення накопиченого досвіду спостережень привело до створення практичних правил виміру земельних ділянок, знаходження площі та об’єму найпростіших фігур, будівельних норм та ін. Так, формули для обчислення площ земельних ділянок, які мали форму трикутника, трапеції зустрічаються у древніх єгиптян, вавилонян. До ХVII – XVI ст.. до н.е. були встановлені такі її факти, як теорема Піфагора, знайдено вираз для обчислення об’єму кулі та багато інших..

Взагалі удосконалення геометричних знань йшло шляхом відокремлення їх від досвіду – в результаті предметом геометрії стали не реальні, а ідеальні фігури тобто фігури які є образами предметів, які абстрагуються від всього, крім форми.

Основні досягнення в області математики були систематизовані біля 300 років до н.е. грецьким вченим Евклідом і закладені в його знаменитій праці «Начало», яка складається з тринадцяти книг.

Таким чином, геометрія як наука склалася про просторові форми у відносинах, розглянутих абстрактно від їхнього математичного змісту. У Прадавній Греції вона сформувалася в абстрактну логічну систему, в основі якої лежать первісні поняття й аксіоми, нові факти формуються у вигляді теорем і виводяться дедуктивним способом, а кожне нове поняття вводиться за допомогою визначення на основі раніше введених понять. «Початок» Евкліда залишили глибокий слід в історії і у багатьох віків служили зразком наукового викладу математики.

. СИСТЕМА ГЕОМЕТРИЧНИХ ПОНЯТЬ ШКІЛЬНОГО КУРСУ МАТЕМАТИКИ

Систематичний курс геометрії розпочинається за традицією з планіметрії (термін походить від латинського слова “площина” і грецького “міряти”), тобто з розділу, в якому вивчаються власти­вості фігур, розміщених в одній площині. Потім переходять до вивчення властивостей фігур у просторі - стереометрії (термін походить від грецьких слів “простір” і “міряти”).

В геометрії, як і в кожному розділі математики, є неозначувані (первісні) поняття. В підручнику сучасної школи виділено такі первісні поняття:

1. точка, пряма, площина, довжина відрізка та градусна міра кута;

2. належати (бінарне відношення), лежати між (тернарне, або трійкове відношення).

Неявним означенням цих понять є система аксіом, які в під­ручнику спочатку називаються основними властивостями. Аксіо­ми розбито на дві групи:

1. аксіоми планіметрії (плоскої геометрії);

2. аксіоми стереометрії.

Аксіоми планіметрії поділяються на п’ять груп:

1. Аксіоми належності точок і прямих:

   1. Хоч би яка була пряма, існують точки, що належать їй, і точки, що не належать їй.

   2. Через будь-які дві різні точки проходить пряма і тільки одна.

2. Аксіоми взаємного розміщення точок на прямій і на площині.

   1. З трьох різних точок прямої одна, і тільки одна, лежить між двома іншими.

   2. Пряма розбиває множину точок площини, що їй не на­лежать, на дві підмножини, які називаються півплощинами, так, що відрізок, який з’єднує точки однієї півплощини, не перетинає­ться з прямою, а відрізок, який з’єднує точки різних півплощин, перетинається з нею.