- •Л е к ц і я 1 м е т о д п р о е к ц і й. К о м п л е к с н е к р е с л е н н я т о ч к и
- •1.1. Предмет і метод нарисної геометрії
- •Центральне і паралельне проекціювання. Властивості проекцій
- •Властивості паралельних проекцій
- •1.2. Двокартинне комплексне креслення точки
- •1.3. Проекції точки на три площини
- •1.4. Ортогональні проекції і система прямокутних координат
- •1.5. Конкуруючі точки
- •1.6. Точка в квадрантах і октантах простору
Л е к ц і я 1 м е т о д п р о е к ц і й. К о м п л е к с н е к р е с л е н н я т о ч к и
1.1. Предмет і метод нарисної геометрії
Нарисна геометрія входить до числа дисциплін, які складають основу інженерної освіти. Предметом нарисної геометрії є виклад і обгрунтування методів побудови зображень просторових форм на площині і способів розв'язання задач геометричного характеру за заданими зображеннями. Нарисна геометрія передає ряд своїх висновків у практику виконання технічних креслень, до яких ставиться ряд вимог:
- креслення повинне бути наочним;
- креслення повинне бути оборотним;
- креслення повинне бути достатньо простим з точки зору його графічного виконання;
- графічні операції, які виконуються на кресленні, повинні давати достатньо точний розв'язок.
Правила побудови зображень, які викладаються в нарисній геометрії грунтуються на методі проекціювання (проектування). У зв’язку з цим, креслення, які виконуються в нарисній геометрії, називають проекційними кресленнями. При побудові цих креслень широко використовуються проекційні властивості предметів.
Змістом нарисної геометрії є :
- дослідження способів побудови проекційних креслень;
- розв'язання геометричних задач, які пов'язані з просторовими фігурами;
застосування способів нарисної геометрії при дослідженнях практичних і теоретичних питань науки і техніки.
Центральне і паралельне проекціювання. Властивості проекцій
Для побудови зображення предметів на площині користуються методом проекціювання (проектування). Слово “ проекція” - латинське, що в перекладі означає “кинути вперед”.
Проекції поділяють на центральні і паралельні.
Ідею центрального проектування видно з рисунку 1.1.
Точка S, з якої виходять проектуючі промені, називається центром проекцій. Площина П0, на яку проектуються точки називається площиною проекцій. Якщо провести через точку А і центр проекцій S пряму лінію, то вона перетне площину П0 в точці А0. Одержану точку А0 називають центральною проекцією точки А на площину П0. Аналогічно виконуємо вправу з точкою В. Лінію SAA0 (SBB0) називають проектуючим променем.
Рис. 1.1 Рис. 1.2
Якщо на проектуючому промені SAA0 буде знаходитись точка С, то її проекція буде збігатися з проекцією точки А (С0 ≡А0).
Для того щоб отримати проекцію прямої лінії необхідно побудувати проекції двох її точок, наприклад відрізок АВ. Якщо лінія збігається з проектуючим променем (наприклад відрізок АС), то така лінія (відрізок) називається проектуючою і всі її точки на площині проекцій збігаються.
Властивості центральних проекцій :
1. Проекція точки є точка.
2. Проекція відрізка є відрізок.
3. Проекція площини є площина.
4. Проекція проектуючого відрізка є точка.
5. Проекція проектуючої площини є відрізок (наприклад А0В0С0 - проекція площини АВС).
Важливо, маючи проекцію точки, визначити її положення у просторі. Знаючи А0 (рис. 1.1), можемо стверджувати тільки те, що точка А лежить на проектуючій прямій SА0, тобто одна проекція не визначає положення точки у просторі, і для визначення оригінала необхідні додаткові умови.
Візьмемо S' -ще один центр проекцій (рис. 1.2 ). Вкажемо додаткову проекцію А0'. І таким чином одержимо оборотне креслення: точка А лежить на перетині двох проектуючих прямих. Дві проекції однозначно визначають положення точки у просторі.
Якщо центр проекцій S віддалити в нескінченність, то на кінцевому відрізку проектуючі промені будуть паралельні між собою (тобто задається напрямок проектування, а не центр проекцій). Така проекція називається паралельною (рис. 1.3).
Щоб спроектувати точку А на площину П0, через неї проводимо проектуючий промінь, паралельний до напрямку проектування S. Промінь перетинає П0 в точці А0, яка називається паралельною проекцією точки А. Аналогічно будуємо паралельну проекцію точки В - В0.
Рис. 1.3 Рис.1.4 Рис 1.5
Для визначення положення точки у просторі необхідно мати дві її паралельні проекції, одержані при двох різних напрямках проектування, тобто задати ще S' і одержати A'0 (рис. 1.4).
Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проектуючі промені перпендикулярні до площини проекцій то такий спосіб проектування називається прямокутним, або ортогональним (рис. 1.5). Якщо ж кут нахилу променів не дорівнює 900, то така паралельна проекція називається косокутною.
Надалі ми будемо користуватись прямокутною паралельною проекцією.