
M00920
.pdf
71
в) 16 y2 +9z 2 −144x −64 y +36z −188 = 0 . 27. а) x2 + 2 y2 −3z 2 + 4x − 4 y −6z −9 = 0 ;
б) x2 − 4x +3z +1 = 0 ;
в) x2 + y2 + z 2 − 2x − 2 y + 2z −6 = 0 .
28.а) 16x2 +9 y2 −32x −36 y −144z −192 = 0 ; б) 3y2 + 2x +12y +10 = 0 ;
в) 9x2 − y2 + 4z 2 −18x − 2 y + 4z + 45 = 0 .
29.а) 4x2 −9 y2 − z 2 +8x +18y − 4z − 45 = 0 ;
б) x2 + y2 + z 2 − 2x −6y + 4z −11 = 0 ;
в) 2x2 +5z 2 + 4x −10z −5 = 0 .
30. а) y2 + 4z 2 +36x + 4 y − 24z + 4 = 0 ;
б) x2 + y2 − 4x +8y = 0 ;
в) 4x2 + y2 + 4z 2 +16x − 2 y −8z +5 = 0 .
6. ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ
6.1Аудиторні завдання
1.Нехай a = (x, y, z). Чи будуть лінійними наступні перетворення:
Aa = (x2 , x − z, y + z), Ba = (1, x − z, y + z), Ca = (x, x − z, y + z)?
2.Знайти матрицю в базисі {e1 , e2 , e3 }, яка в базисі {i, j, k} має вигляд
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
0 |
|
e1 = i − j + k , |
e2 = −i + j − 2k , |
||||||||||||
D= |
1 , |
якщо |
||||||||||||||
|
1 |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e3 = −i + 2 j + k .
3. Знайти власні значення та власні вектори матриці:

|
|
72 |
|
|
4 |
−3 |
−3 |
||
|
1 |
2 |
1 |
|
G= |
|
|||
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
4.Привести квадратичну форму до канонічного вигляду:
x2 +5y2 + z 2 + 2xy + 6xz + 2 yz .
5.Дослідити криву другого порядку та побудувати її:
x2 + y2 − 4xy + 4x − 2 y +1 = 0
6.2 Індивідуальні завдання
1.Нехай a = (x, y, z). Чи будуть лінійними наступні перетворення:
Aa , Ba , Ca ?
2.Знайти матрицю в базисі {e1 , e2 , e3 }, яка в базисі {i, j, k} має вигляд
D , якщо e1 = i − j + k , e2 = −i + j − 2k , e3 = −i + 2 j + k .
3.Знайти власні значення та власні вектори матриці G .
4.Привести квадратичну форму F (x, y, z) до канонічного вигляду.
5.Дослідити криву другого порядку Φ(x, y) = 0 та побудувати її.
Варіанти індивідуальних завдань
1.Aa = (6x −5y − 4z, 3x + 2 y − z, y + 2z),
Ba = (6 −5y − 4z, 3x − 2 y − z, y + 2), Ca = (z 4 , 3x − z, y + 2z),
1 |
0 |
2 |
|
|
4 |
− 2 |
−1 |
||
|
3 −1 0 |
|
|
|
|
|
|
||
D = |
|
, G = |
−1 3 −1 , |
||||||
|
1 |
1 |
− 2 |
|
|
1 |
− 2 |
2 |
|
|
|
|
|
F(x, y, z) = x2 + y2 − z 2 − 2xy + 2xz + 2 yz ,
Φ(x, y) = −x2 − y2 + 4xy + 2x − 4 y +1 .

73
2. Aa = (5x − 4 y −3z, 2x − y, y + 2), Ba = (5x − 4 y −3z, 0, y4 + 2z),
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 0 |
2 −1 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 4 |
|
|
−1 2 0 |
|
|||
Ca = (5x − 4 y, 2x − z, y + 2z), D = |
|
|
, G = |
, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
−1 2 |
|
|
1 −1 1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F(x, y, z) = x2 + y2 − z 2 −8xy + 4xz + 4 yz , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 − 2xy − 2x − 2 y +1. |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= (4x −3y − 2z, x − z, x + 2 y4 + z), |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3. Aa |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
= (4x −3y − 2z, x, x + 2 y +3z), C |
|
= (4x, x, y + z +3), |
|
||||||||||||||||
Ba |
a |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
2 |
3 |
3 −1 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
4 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
D = |
, G |
= |
0 2 −1 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
−1 − 2 |
|
|
0 −1 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
F(x, y, z) = x2 + y2 +3z 2 + 2xy − 2xz − 2 yz , |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Φ(x, y) = 4xy + 4x − 4 y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
= (3x + 2 y + z, z, 2x −3y + 4z), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. Aa |
|
= (3x, z, 2x2 + y + z), |
|
||||||||||||||||||
|
|
= (3x + 2 y + z, z, 2x −3y + 4), C |
|
|
|||||||||||||||||
Ba |
a |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
2 0 |
|
5 −1 −1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
D = |
3 |
0 −1 , G = |
0 4 −1 , |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 1 −1 |
|
0 −1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x, y, z) = −2z 2 − 2xy + 2xz + 2 yz ,
Φ(x, y) = −2x2 − 2y2 + 2xy −6x + 6 y +3 .

74
5. Aa = (x + 6 y − z, x − 2y −3z, 4x + y −6),
Ba = (x, x − 2 y −3z, xy + z), Ca = (x, x − 2 y −3z, x + y + z),
|
|
|
2 0 1 |
6 − 2 −1 |
|||||
D = 3 0 2 , G = |
−1 5 −1 , |
||||||||
|
|
|
−1 1 2 |
1 − 2 4 |
|||||
F(x, y, z) = 5x2 +5y2 +3z 2 −8xy + 4xz + 4yz , |
|||||||||
Φ(x, y) = −3x2 −3y2 + 4xy −6x + 4 y + 2 . |
|||||||||
|
|
|
|
= |
(2x + y, y − 2z, 3x − 4y2 + z), |
||||
6. Aa |
|||||||||
|
|
= (2x + y, y − 2z, 3x − 4 y −5z), C |
|
= (2x + y, y − 2, y + z), |
|||||
Ba |
a |
||||||||
|
|
|
0 |
3 2 |
3 1 |
−1 |
|||
D = 2 |
1 −1 , G = 2 2 |
−1 , |
|||||||
|
|
|
0 |
−1 2 |
− 2 1 |
4 |
F(x, y, z) = 5x2 +5y2 +3z 2 − 2xy + 2xz + 2 yz ,
Φ(x, y) = −2xy − 2x − 2 y +1.
7.Aa = (x, x + 2 y −3z, 4x +5y + 6z), Ba = (x, x + 2 y −3, y + z), Ca = (x, x + 2y +3z, 4x3 +5y + z),
|
|
|
1 |
3 |
0 |
2 |
0 |
−1 |
|
|
|
||
D = 2 |
1 |
−1 , G = |
1 |
1 |
−1 , |
|
|
|
|||||
|
|
|
0 |
2 |
1 |
−1 0 |
2 |
|
|
|
|||
F(x, y, z) = x2 +3y2 +3z 2 + 4xy + 4xz −8yz , |
|
|
|
||||||||||
Φ(x, y) = −x2 − y2 − 4xy − 4x − 2 y + 2 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
= (3x − 2 y − z, 1, x + 2 y +3z), Ba |
= (3x − 2 y − z, 0, x3 + 2 y), |
||||||||
8. Aa |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 2 |
2 |
1 |
0 |
C |
|
= (3x − 2 y − z, z, x + 2 y +3z), D = 3 0 2 |
, G = 1 |
2 |
0 , |
||||||||
a |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
−1 1 |
3 |

|
|
|
|
|
75 |
|
|
|
|
|
|
F(x, y, z) = x2 |
+3y2 +3z 2 + 2xy + 2xz − 2yz , |
|
|
|
|||||||
Φ(x, y) = −4x2 − 4 y2 + 2xy +10x −10 y +1. |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= (2x − y, z, x + 2 y +3z 4 ), Ba |
= (2x − y, z, x + 2 y +3z), |
|
|||||
9. Aa |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
4 |
1 |
0 |
|
C |
|
= (2x − y, 1, x + 2 y +3), D = 4 |
0 |
1 |
, G = 1 |
4 |
0 , |
||||
a |
|||||||||||
F(x, y, z) = x2 |
−1 − 2 1 |
−1 1 |
5 |
||||||||
+ y2 +3z 2 +8xy + 4xz + 4yz , |
|
|
|
|
Φ(x, y) = 4xy + 4x − 4 y − 2 .
|
|
|
|
= (z, 2x +3y − z, 5x + 6 y + 7z), |
|||||||
10. Aa |
|||||||||||
|
|
= (z, 2x +3y −1, 5x + 6 + 7z), C |
|
= (z, 0, 5x2 + 6 y + z), |
|||||||
Ba |
a |
||||||||||
|
|
1 |
1 |
0 |
5 −1 |
−1 |
|||||
D = 0 |
−1 |
1 , G = |
− 2 |
4 |
−1 , |
||||||
|
|
2 |
3 |
1 |
− 2 |
1 |
6 |
||||
F(x, y, z) = x2 + y2 +3z 2 + 2xy + 2xz + 2 yz , |
|||||||||||
Φ(x, y) = x2 + y2 + 2xy −8x −8y +1. |
|
|
|
|
= (6x −5y − 4z, 3x − 2 y − z, 0), |
||||||||
11. Aa |
||||||||||||
|
|
= (6x −5y − 4, 3x − 2 y − z, 0), |
C |
|
= (6x −5y − 4z, 3x − z 2 , 0), |
|||||||
Ba |
a |
|||||||||||
|
|
2 |
1 |
1 |
5 |
− 4 |
4 |
|||||
D = 0 |
0 |
2 |
, G = 2 |
1 |
2 , |
|||||||
|
|
1 |
3 |
−1 |
2 |
0 |
3 |
F(x, y, z) = 5x2 +3y2 +5z 2 − 4xy +8xz + 4yz , Φ(x, y) = x2 + y2 + 4xy −8x − 4y +1.

76
12. Aa = (5x − 4 y −3, 2x − y, y + z 2 ), Ba = (5x − 4y −3z, 2x − y, 1),
|
|
3 |
0 |
1 |
3 |
− 2 |
2 |
C |
|
= (5x − 4 y −3z, 2x − y, y), D = 1 |
−1 0 |
, G = 2 |
−1 |
2 , |
|
a |
|||||||
|
|
2 |
1 |
−1 |
2 |
− 2 |
3 |
F(x, y, z) = 5x2 +3y2 +5z 2 − 2xy + 2xz + 2 yz , Φ(x, y) = x2 + y2 − 2xy − 2x + 2 y −7 .
13. Aa = (4x −3y − 2z, x2 , y + 2z), Ba = (4x −3y − 2z, x, y + 2z),
|
|
1 |
2 |
1 |
3 |
C |
|
= (4x −3y − 2, x2 , y + 2), D = 0 |
2 |
0 |
, G = 0 |
a |
|||||
|
|
−1 1 |
1 |
0 |
F(x, y, z) = 3x2 + y2 +3z 2 − 4xy +8xz + 4yz , Φ(x, y) = 2xy + 2x + 2 y −3 .
14. Aa = (3x + 2 y + z, 0, x − 2 y +3z),
Ba = (3x + 2 y +1, 0, x − 2 y +3z), Ca = (3x + 2 y + z, 0,
− 2 |
2 |
|
3 |
0 |
, |
2 |
1 |
|
x2 ),
1 |
1 |
2 |
5 |
− 2 2 |
|
D = 0 |
2 |
1 |
, G = 0 |
5 |
0 , |
1 |
−1 0 |
0 |
2 |
3 |
F(x, y, z) = 3x2 + y2 +3z 2 + 2xy + 2xz − 2yz ,
Φ(x, y) = 4x2 + 4 y2 + 2xy +12x +12 y +1.
15. Aa = (x, y − 2z, 3x − 4 y −5), Ba = (x, y2 − 2z, 3x − 4 y −5z),
|
|
1 |
1 |
1 |
7 |
− 4 |
4 |
C |
|
= (x, y − 2z, 3x − 4 y −5z), D = 2 |
0 |
1 |
, G = 2 |
3 |
2 , |
a |
|||||||
|
|
0 |
1 |
1 |
2 |
0 |
5 |

77
F(x, y, z) = x2 +3y2 + z 2 + 4xy −8xz − 4 yz , Φ(x, y) = 3x2 +3y2 + 4xy +8x +12 y +1.
16. Aa = (x + y, z 2 , 2x −3y + 4z), Ba = (x + y, z, 2x −3y + 4z),
|
|
1 |
1 |
3 |
7 |
−6 |
C |
|
= (x + y, z, 2x −3 + 4z), D = 1 |
0 |
1 |
, G = 4 |
−1 |
a |
||||||
|
|
2 |
0 |
1 |
4 |
− 2 |
F(x, y, z) = x2 +3y2 + z 2 + 2xy − 2xz − 2 yz , Φ(x, y) = x2 + y2 −8xy − 20x + 20y +1.
6
4 ,
5
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (x, y + 2z, 3 + 4 y +5z), |
|
|||||
17. Aa |
|
= (x, y + 2, 3x + 4y + 5z), Ba |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0 1 |
7 |
−6 6 |
||
C |
|
|
= (x3 , y + 2z, 3x + 4 y +5z), D = 0 −1 2 |
, G = 2 |
3 2 , |
|||||||||||
a |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 −1 1 |
2 |
2 3 |
||
F(x, y, z) = 3x2 +5y2 +5z 2 − 4xy − 4xz −8yz , |
|
|
||||||||||||||
Φ(x, y) = 3x2 +3y2 − 2xy −6x + 2y +1. |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= (3x − 2 y −1, 0, x + 2 y +3z), |
|
|
||||||||||
18. Aa |
|
|
||||||||||||||
|
|
= (3x2 − 2 y − z, 0, x + 2 y +3z), C |
|
= (3x − 2y − z, 0, 0), |
||||||||||||
Ba |
a |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 2 |
13 2 − 2 |
|
|
|||||||
D = 3 |
0 −1 |
, G = 6 9 −6 , |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
− 2 1 |
2 − 2 5 |
|
|
F(x, y, z) = 3x2 +5y2 +5z 2 − 2xy − 2xz − 2 yz , Φ(x, y) = 4xy + 4x + 4 y +1.

78
19. Aa = (2x2 − y +5z, z, 2 y +3z), Ba = (2x − y +5z, z, 2 y +3z),
|
|
|
|
2 |
0 |
0 |
7 2 − 2 |
||||
C |
|
= (2x − y +5z, z, 2y +3), D = 1 |
−1 1 |
, G = 4 5 |
− 2 , |
||||||
a |
|||||||||||
|
|
|
|
−1 2 |
1 |
0 0 |
3 |
||||
F(x, y, z) = 3x2 +3y2 + z 2 −8xy − 4xz − 4 yz , |
|
|
|
||||||||
Φ(x, y) = 3x2 +3y2 − 4xy + 6x − 4 y −7 . |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
= (0, x − 2 y +3z, 4x +5y + 6z), Ba |
= (0, x − 2y, 4x +5y + 6), |
||||||||
20. Aa |
|||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
9 |
0 |
0 |
||
C |
|
= (0, x3 − 2y, 4x +5y + 6z), D = 1 |
1 |
1 |
, G = 2 |
7 |
− 4 , |
||||
a |
|||||||||||
|
|
|
|
0 |
2 |
1 |
2 |
− 2 5 |
F(x, y, z) = 3x2 +3y2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2 yz ,
Φ(x, y) = −4xy − 4x + 4y + 6 .
21. Aa = (6x −5y − 4z, 3x − 2 y − z, y), Ba = (6x −5y − 4, 3x − z, y),
Ca = (6x −5y − 4z 2 , 3x − 2 y, 0),
0 |
1 |
1 |
15 |
0 |
0 |
|
D = 1 |
1 |
0 |
, G = 2 |
13 − 4 , |
||
2 |
1 |
1 |
2 |
− 2 11 |
F(x, y, z) = 3x2 + y2 + z 2 − 4xy − 4xz +8yz , Φ(x, y) = 5x2 +5y2 − 2xy +10x − 2 y +1 .

79
|
|
|
|
= (5x − 4 y −3, 2x − z, x + 2y + z), |
||||||
22. Aa |
||||||||||
|
|
= (5x −3z 2 , 2x − z, x + 2 y), C |
|
= (5x − 4 y, 2x − z, x + 2 y), |
||||||
Ba |
a |
|||||||||
|
|
0 |
0 |
1 |
19 2 |
|
− 2 |
|||
D = 2 |
1 |
−1 |
, G = 6 |
15 |
|
−6 , |
||||
|
|
−1 1 |
1 |
2 |
− 2 11 |
F(x, y, z) = 3x2 + y2 + z 2 − 2xy − 2xz + 2 yz , Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 + 4xy +8x +8y +1.
23. Aa = (x2 − 2z, x + z, y + z +1), Ba = (x − 2z, x + z, x + y + z), Ca = (x − 2z − 2, x + z, x + y + z),
0 |
1 |
1 |
4 |
1 |
−1 |
D = 0 |
2 |
1 |
, G = 2 |
3 |
− 2 , |
−1 2 |
1 |
1 |
−1 2 |
||
F(x, y, z) = −z 2 −8xy + 4xz + 4yz , |
|||||
Φ(x, y) = −x2 − y2 + 2xy + 2x − 2 y +1 . |
|
|
|
|
= (3x +5z, 6x + 7 y − z, 9x + z), |
|||||||
24. Aa |
|||||||||||
|
|
= (3x +5, 6x + 7 y − z, 9x + z), C |
|
= (3x +5z, 6x3 + 7 y − z, 0), |
|||||||
Ba |
a |
||||||||||
|
|
0 |
2 |
1 |
2 |
1 |
−1 |
||||
D = 0 |
3 |
2 |
, G = 1 |
2 |
−1 , |
||||||
|
|
1 |
1 |
−1 |
0 |
0 |
1 |
F(x, y, z) = 2z 2 + 2xy − 2xz − 2 yz , Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 − 4xy −8x +8y +1 .

80
|
|
|
|
= (2x +3y + 4, 5x + 6 y −7, 8y), |
|||||||
25. Aa |
|||||||||||
|
|
= (2x +3y + 4x2 , 5x + 6 y, 0), C |
|
= (2x +3y + 4x, 5x + 6 y, 0), |
|||||||
Ba |
a |
||||||||||
|
|
2 |
0 |
1 |
3 |
0 |
0 |
||||
D = 0 |
1 |
−1 , G = |
1 |
2 |
−1 , |
||||||
|
|
1 |
1 |
−1 |
1 |
−1 2 |
F(x, y, z) = 2z 2 +8xy − 4xz − 4 yz ,
Φ(x, y) = 3x2 +3y2 + 2xy −12x − 4y +1.
26. Aa = (x2 + z, 2x +3y + 4z, 2 y + z),
Ba = (x + z, 2x +3y + 4z, 2 y + z), Ca = (x +1, 2x +3y + 4z, 2 y),
2 |
0 |
1 |
5 |
0 |
0 |
D = 1 |
1 |
1 |
, G = 1 |
4 |
−1 , |
0 |
2 |
−1 |
1 |
−1 4 |
F(x, y, z) = 2x2 + 2 y2 − 2xy + 2xz + 2yz ,
Φ(x, y) = −4xy +8x +8y +1.
|
|
|
|
= (3x − 2y − z, y + 2z, 3x + y + z), |
|||||||
27. Aa |
|||||||||||
|
|
= (3x − 2 y −1, y + 2z, 3x + y + z), C |
|
= (3x − 2 y − z3 , 2z, 0), |
|||||||
Ba |
a |
||||||||||
|
|
2 |
1 |
−1 |
6 |
1 |
−1 |
||||
D = −1 3 |
1 |
, G = 2 |
5 |
− 2 , |
|||||||
|
|
0 |
1 |
0 |
1 |
−1 4 |
F(x, y, z) = 2x2 + 2 y2 −8xy + 4xz + 4 yz , Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 − 2xy + 6x −6 y −6 .