Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

M00920

.pdf
Скачиваний:
6
Добавлен:
07.02.2016
Размер:
543.84 Кб
Скачать

71

в) 16 y2 +9z 2 144x 64 y +36z 188 = 0 . 27. а) x2 + 2 y2 3z 2 + 4x 4 y 6z 9 = 0 ;

б) x2 4x +3z +1 = 0 ;

в) x2 + y2 + z 2 2x 2 y + 2z 6 = 0 .

28.а) 16x2 +9 y2 32x 36 y 144z 192 = 0 ; б) 3y2 + 2x +12y +10 = 0 ;

в) 9x2 y2 + 4z 2 18x 2 y + 4z + 45 = 0 .

29.а) 4x2 9 y2 z 2 +8x +18y 4z 45 = 0 ;

б) x2 + y2 + z 2 2x 6y + 4z 11 = 0 ;

в) 2x2 +5z 2 + 4x 10z 5 = 0 .

30. а) y2 + 4z 2 +36x + 4 y 24z + 4 = 0 ;

б) x2 + y2 4x +8y = 0 ;

в) 4x2 + y2 + 4z 2 +16x 2 y 8z +5 = 0 .

6. ЛІНІЙНІ ОПЕРАТОРИ

6.1Аудиторні завдання

1.Нехай a = (x, y, z). Чи будуть лінійними наступні перетворення:

Aa = (x2 , x z, y + z), Ba = (1, x z, y + z), Ca = (x, x z, y + z)?

2.Знайти матрицю в базисі {e1 , e2 , e3 }, яка в базисі {i, j, k} має вигляд

0

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

e1 = i j + k ,

e2 = −i + j 2k ,

D=

1 ,

якщо

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

e3 = −i + 2 j + k .

3. Знайти власні значення та власні вектори матриці:

 

 

72

 

 

4

3

3

 

1

2

1

 

G=

 

 

1

1

2

 

 

 

4.Привести квадратичну форму до канонічного вигляду:

x2 +5y2 + z 2 + 2xy + 6xz + 2 yz .

5.Дослідити криву другого порядку та побудувати її:

x2 + y2 4xy + 4x 2 y +1 = 0

6.2 Індивідуальні завдання

1.Нехай a = (x, y, z). Чи будуть лінійними наступні перетворення:

Aa , Ba , Ca ?

2.Знайти матрицю в базисі {e1 , e2 , e3 }, яка в базисі {i, j, k} має вигляд

D , якщо e1 = i j + k , e2 = −i + j 2k , e3 = −i + 2 j + k .

3.Знайти власні значення та власні вектори матриці G .

4.Привести квадратичну форму F (x, y, z) до канонічного вигляду.

5.Дослідити криву другого порядку Φ(x, y) = 0 та побудувати її.

Варіанти індивідуальних завдань

1.Aa = (6x 5y 4z, 3x + 2 y z, y + 2z),

Ba = (6 5y 4z, 3x 2 y z, y + 2), Ca = (z 4 , 3x z, y + 2z),

1

0

2

 

 

4

2

1

 

3 1 0

 

 

 

 

 

 

D =

 

, G =

1 3 1 ,

 

1

1

2

 

 

1

2

2

 

 

 

 

 

F(x, y, z) = x2 + y2 z 2 2xy + 2xz + 2 yz ,

Φ(x, y) = −x2 y2 + 4xy + 2x 4 y +1 .

73

2. Aa = (5x 4 y 3z, 2x y, y + 2), Ba = (5x 4 y 3z, 0, y4 + 2z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1 0

2 1 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

0 4

 

 

1 2 0

 

Ca = (5x 4 y, 2x z, y + 2z), D =

 

 

, G =

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1 2

 

 

1 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x, y, z) = x2 + y2 z 2 8xy + 4xz + 4 yz ,

 

 

 

 

Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 2xy 2x 2 y +1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (4x 3y 2z, x z, x + 2 y4 + z),

 

 

 

 

 

3. Aa

 

 

 

 

 

 

 

= (4x 3y 2z, x, x + 2 y +3z), C

 

= (4x, x, y + z +3),

 

Ba

a

 

 

 

 

 

 

0

2

3

3 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

1

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

, G

=

0 2 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1 2

 

 

0 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x, y, z) = x2 + y2 +3z 2 + 2xy 2xz 2 yz ,

 

 

 

 

Φ(x, y) = 4xy + 4x 4 y .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (3x + 2 y + z, z, 2x 3y + 4z),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Aa

 

= (3x, z, 2x2 + y + z),

 

 

 

= (3x + 2 y + z, z, 2x 3y + 4), C

 

 

Ba

a

 

 

 

 

 

1

2 0

 

5 1 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D =

3

0 1 , G =

0 4 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 1

 

0 1 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F(x, y, z) = −2z 2 2xy + 2xz + 2 yz ,

Φ(x, y) = −2x2 2y2 + 2xy 6x + 6 y +3 .

74

5. Aa = (x + 6 y z, x 2y 3z, 4x + y 6),

Ba = (x, x 2 y 3z, xy + z), Ca = (x, x 2 y 3z, x + y + z),

 

 

 

2 0 1

6 2 1

D = 3 0 2 , G =

1 5 1 ,

 

 

 

1 1 2

1 2 4

F(x, y, z) = 5x2 +5y2 +3z 2 8xy + 4xz + 4yz ,

Φ(x, y) = −3x2 3y2 + 4xy 6x + 4 y + 2 .

 

 

 

 

=

(2x + y, y 2z, 3x 4y2 + z),

6. Aa

 

 

= (2x + y, y 2z, 3x 4 y 5z), C

 

= (2x + y, y 2, y + z),

Ba

a

 

 

 

0

3 2

3 1

1

D = 2

1 1 , G = 2 2

1 ,

 

 

 

0

1 2

2 1

4

F(x, y, z) = 5x2 +5y2 +3z 2 2xy + 2xz + 2 yz ,

Φ(x, y) = −2xy 2x 2 y +1.

7.Aa = (x, x + 2 y 3z, 4x +5y + 6z), Ba = (x, x + 2 y 3, y + z), Ca = (x, x + 2y +3z, 4x3 +5y + z),

 

 

 

1

3

0

2

0

1

 

 

 

D = 2

1

1 , G =

1

1

1 ,

 

 

 

 

 

 

0

2

1

1 0

2

 

 

 

F(x, y, z) = x2 +3y2 +3z 2 + 4xy + 4xz 8yz ,

 

 

 

Φ(x, y) = −x2 y2 4xy 4x 2 y + 2 .

 

 

 

 

 

 

 

= (3x 2 y z, 1, x + 2 y +3z), Ba

= (3x 2 y z, 0, x3 + 2 y),

8. Aa

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 1 2

2

1

0

C

 

= (3x 2 y z, z, x + 2 y +3z), D = 3 0 2

, G = 1

2

0 ,

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1

1 1

3

 

 

 

 

 

75

 

 

 

 

 

 

F(x, y, z) = x2

+3y2 +3z 2 + 2xy + 2xz 2yz ,

 

 

 

Φ(x, y) = −4x2 4 y2 + 2xy +10x 10 y +1.

 

 

 

 

 

 

 

 

= (2x y, z, x + 2 y +3z 4 ), Ba

= (2x y, z, x + 2 y +3z),

 

9. Aa

 

 

 

 

 

 

0

1

2

4

1

0

C

 

= (2x y, 1, x + 2 y +3), D = 4

0

1

, G = 1

4

0 ,

a

F(x, y, z) = x2

1 2 1

1 1

5

+ y2 +3z 2 +8xy + 4xz + 4yz ,

 

 

 

 

Φ(x, y) = 4xy + 4x 4 y 2 .

 

 

 

 

= (z, 2x +3y z, 5x + 6 y + 7z),

10. Aa

 

 

= (z, 2x +3y 1, 5x + 6 + 7z), C

 

= (z, 0, 5x2 + 6 y + z),

Ba

a

 

 

1

1

0

5 1

1

D = 0

1

1 , G =

2

4

1 ,

 

 

2

3

1

2

1

6

F(x, y, z) = x2 + y2 +3z 2 + 2xy + 2xz + 2 yz ,

Φ(x, y) = x2 + y2 + 2xy 8x 8y +1.

 

 

 

 

= (6x 5y 4z, 3x 2 y z, 0),

11. Aa

 

 

= (6x 5y 4, 3x 2 y z, 0),

C

 

= (6x 5y 4z, 3x z 2 , 0),

Ba

a

 

 

2

1

1

5

4

4

D = 0

0

2

, G = 2

1

2 ,

 

 

1

3

1

2

0

3

F(x, y, z) = 5x2 +3y2 +5z 2 4xy +8xz + 4yz , Φ(x, y) = x2 + y2 + 4xy 8x 4y +1.

76

12. Aa = (5x 4 y 3, 2x y, y + z 2 ), Ba = (5x 4y 3z, 2x y, 1),

 

 

3

0

1

3

2

2

C

 

= (5x 4 y 3z, 2x y, y), D = 1

1 0

, G = 2

1

2 ,

a

 

 

2

1

1

2

2

3

F(x, y, z) = 5x2 +3y2 +5z 2 2xy + 2xz + 2 yz , Φ(x, y) = x2 + y2 2xy 2x + 2 y 7 .

13. Aa = (4x 3y 2z, x2 , y + 2z), Ba = (4x 3y 2z, x, y + 2z),

 

 

1

2

1

3

C

 

= (4x 3y 2, x2 , y + 2), D = 0

2

0

, G = 0

a

 

 

1 1

1

0

F(x, y, z) = 3x2 + y2 +3z 2 4xy +8xz + 4yz , Φ(x, y) = 2xy + 2x + 2 y 3 .

14. Aa = (3x + 2 y + z, 0, x 2 y +3z),

Ba = (3x + 2 y +1, 0, x 2 y +3z), Ca = (3x + 2 y + z, 0,

2

2

 

3

0

,

2

1

 

x2 ),

1

1

2

5

2 2

D = 0

2

1

, G = 0

5

0 ,

1

1 0

0

2

3

F(x, y, z) = 3x2 + y2 +3z 2 + 2xy + 2xz 2yz ,

Φ(x, y) = 4x2 + 4 y2 + 2xy +12x +12 y +1.

15. Aa = (x, y 2z, 3x 4 y 5), Ba = (x, y2 2z, 3x 4 y 5z),

 

 

1

1

1

7

4

4

C

 

= (x, y 2z, 3x 4 y 5z), D = 2

0

1

, G = 2

3

2 ,

a

 

 

0

1

1

2

0

5

77

F(x, y, z) = x2 +3y2 + z 2 + 4xy 8xz 4 yz , Φ(x, y) = 3x2 +3y2 + 4xy +8x +12 y +1.

16. Aa = (x + y, z 2 , 2x 3y + 4z), Ba = (x + y, z, 2x 3y + 4z),

 

 

1

1

3

7

6

C

 

= (x + y, z, 2x 3 + 4z), D = 1

0

1

, G = 4

1

a

 

 

2

0

1

4

2

F(x, y, z) = x2 +3y2 + z 2 + 2xy 2xz 2 yz , Φ(x, y) = x2 + y2 8xy 20x + 20y +1.

6

4 ,

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x, y + 2z, 3 + 4 y +5z),

 

17. Aa

 

= (x, y + 2, 3x + 4y + 5z), Ba

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 0 1

7

6 6

C

 

 

= (x3 , y + 2z, 3x + 4 y +5z), D = 0 1 2

, G = 2

3 2 ,

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 1 1

2

2 3

F(x, y, z) = 3x2 +5y2 +5z 2 4xy 4xz 8yz ,

 

 

Φ(x, y) = 3x2 +3y2 2xy 6x + 2y +1.

 

 

 

 

 

 

= (3x 2 y 1, 0, x + 2 y +3z),

 

 

18. Aa

 

 

 

 

= (3x2 2 y z, 0, x + 2 y +3z), C

 

= (3x 2y z, 0, 0),

Ba

a

 

 

 

 

 

1

0 2

13 2 2

 

 

D = 3

0 1

, G = 6 9 6 ,

 

 

 

 

 

 

 

1

2 1

2 2 5

 

 

F(x, y, z) = 3x2 +5y2 +5z 2 2xy 2xz 2 yz , Φ(x, y) = 4xy + 4x + 4 y +1.

78

19. Aa = (2x2 y +5z, z, 2 y +3z), Ba = (2x y +5z, z, 2 y +3z),

 

 

 

 

2

0

0

7 2 2

C

 

= (2x y +5z, z, 2y +3), D = 1

1 1

, G = 4 5

2 ,

a

 

 

 

 

1 2

1

0 0

3

F(x, y, z) = 3x2 +3y2 + z 2 8xy 4xz 4 yz ,

 

 

 

Φ(x, y) = 3x2 +3y2 4xy + 6x 4 y 7 .

 

 

 

 

 

 

 

 

= (0, x 2 y +3z, 4x +5y + 6z), Ba

= (0, x 2y, 4x +5y + 6),

20. Aa

 

 

 

 

1

1

0

9

0

0

C

 

= (0, x3 2y, 4x +5y + 6z), D = 1

1

1

, G = 2

7

4 ,

a

 

 

 

 

0

2

1

2

2 5

F(x, y, z) = 3x2 +3y2 + z 2 2xy 2xz 2 yz ,

Φ(x, y) = −4xy 4x + 4y + 6 .

21. Aa = (6x 5y 4z, 3x 2 y z, y), Ba = (6x 5y 4, 3x z, y),

Ca = (6x 5y 4z 2 , 3x 2 y, 0),

0

1

1

15

0

0

 

D = 1

1

0

, G = 2

13 4 ,

2

1

1

2

2 11

F(x, y, z) = 3x2 + y2 + z 2 4xy 4xz +8yz , Φ(x, y) = 5x2 +5y2 2xy +10x 2 y +1 .

79

 

 

 

 

= (5x 4 y 3, 2x z, x + 2y + z),

22. Aa

 

 

= (5x 3z 2 , 2x z, x + 2 y), C

 

= (5x 4 y, 2x z, x + 2 y),

Ba

a

 

 

0

0

1

19 2

 

2

D = 2

1

1

, G = 6

15

 

6 ,

 

 

1 1

1

2

2 11

F(x, y, z) = 3x2 + y2 + z 2 2xy 2xz + 2 yz , Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 + 4xy +8x +8y +1.

23. Aa = (x2 2z, x + z, y + z +1), Ba = (x 2z, x + z, x + y + z), Ca = (x 2z 2, x + z, x + y + z),

0

1

1

4

1

1

D = 0

2

1

, G = 2

3

2 ,

1 2

1

1

1 2

F(x, y, z) = −z 2 8xy + 4xz + 4yz ,

Φ(x, y) = −x2 y2 + 2xy + 2x 2 y +1 .

 

 

 

 

= (3x +5z, 6x + 7 y z, 9x + z),

24. Aa

 

 

= (3x +5, 6x + 7 y z, 9x + z), C

 

= (3x +5z, 6x3 + 7 y z, 0),

Ba

a

 

 

0

2

1

2

1

1

D = 0

3

2

, G = 1

2

1 ,

 

 

1

1

1

0

0

1

F(x, y, z) = 2z 2 + 2xy 2xz 2 yz , Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 4xy 8x +8y +1 .

80

 

 

 

 

= (2x +3y + 4, 5x + 6 y 7, 8y),

25. Aa

 

 

= (2x +3y + 4x2 , 5x + 6 y, 0), C

 

= (2x +3y + 4x, 5x + 6 y, 0),

Ba

a

 

 

2

0

1

3

0

0

D = 0

1

1 , G =

1

2

1 ,

 

 

1

1

1

1

1 2

F(x, y, z) = 2z 2 +8xy 4xz 4 yz ,

Φ(x, y) = 3x2 +3y2 + 2xy 12x 4y +1.

26. Aa = (x2 + z, 2x +3y + 4z, 2 y + z),

Ba = (x + z, 2x +3y + 4z, 2 y + z), Ca = (x +1, 2x +3y + 4z, 2 y),

2

0

1

5

0

0

D = 1

1

1

, G = 1

4

1 ,

0

2

1

1

1 4

F(x, y, z) = 2x2 + 2 y2 2xy + 2xz + 2yz ,

Φ(x, y) = −4xy +8x +8y +1.

 

 

 

 

= (3x 2y z, y + 2z, 3x + y + z),

27. Aa

 

 

= (3x 2 y 1, y + 2z, 3x + y + z), C

 

= (3x 2 y z3 , 2z, 0),

Ba

a

 

 

2

1

1

6

1

1

D = −1 3

1

, G = 2

5

2 ,

 

 

0

1

0

1

1 4

F(x, y, z) = 2x2 + 2 y2 8xy + 4xz + 4 yz , Φ(x, y) = 2x2 + 2 y2 2xy + 6x 6 y 6 .

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]