
математика 1874
.pdf
21
2 Диференціальне рівняння F(y, y′, y′′) = 0 , яке не містить
змінну х.
Знизимо порядок диференціального рівняння шляхом заміни y′ = p(y), y′′ = p p′
Отримаємо ДР-1: F(y, p, pp′) = 0 . Розв′яжемо його відноснофункції p:
p = ϕ (y,C1 ) або y′ = ϕ (y, C1 )
Проінтегруємо це диференціальне рівняння і отримаємо розв’язок ДР-2:
∫ |
dy |
|
= x + C2 . |
ϕ (y,C |
) |
||
1 |
|
|
|
Приклад 13. Знайти частинний розв′язок ДР-2 |
|||
y3 y′′ = y 4 − 16, y(0) = 2 2, y′(0) = 2 |
Розв′язання.
Диференціальне рівняння не містить змінну х. Знизимо порядок
ДР-2 |
шляхом |
|
заміни |
|
y′ = p; y′′ = pp′ . |
|
|
|
Маємо ДР-1 |
|||||||||||||||
y3 p p′ = y 4 − 16 |
|
з відокремлюваними змінними. Розв′яжемо його: |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
4 |
− 16 |
|
|
|
|
16 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
pdp = |
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
∫ pdp = ∫ y |
− |
|
|
|
|
|
dy + C1 |
|||||
|
|
|
|
|
y |
3 |
|
|
|
y |
3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
p2 |
= |
y2 |
+ |
8 |
+ C | 2 p2 = y2 |
|
+ |
16 |
+ 2C ; |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
y2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
y 2 |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
p = |
|
y2 + 16 + 2C |
або y′ = |
y |
2 + 16 + 2C |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Знайдемо значення сталої С1, |
застосовуючи початкові умови: |
|||||||||||||||||||||||
|
2 = |
|
8 + 16 + 2C ; |
2 = 2 |
|
5 + C C = −4 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Маємо |
ДР-1 |
y′ = |
|
|
y2 + 16 − |
8 = y 2 − 4 |
з |
|
відокремлюваними |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
змінними. Розв’яжемо його:

|
|
|
|
22 |
|
|
|
|
ydy |
|
= dx; |
∫ |
ydy |
= |
∫ |
dx + C |
|
y2 − |
4 |
y2 − 4 |
2 |
|||||
|
|
|
|
1 ln y2 − 4 = x + C2
2
Знайдемо значення сталої С2 , застосовуючи початкові умови:
1 ln 8 − 4 = 0 + C2 C2 = ln 2.
2
Частинний розв′язок заданого ДР-2 має вигляд
1 ln y2 − 4 = x + ln 2 y2 − 4 = 4e2x .
2
Приклад 14 Знайти загальний розв′язок ДР-2
(y − 1)y′′ = (y′)2
Розв′язання.
Диференціальне рівняння не містить змінну х. Знизимо порядок
ДР-2 шляхом заміни y′ = p; y′′ = p p′. |
|
||
Маємо ДР-1 : |
(y − 1)p p′ = p2 |
з відокремлюваними змінними. |
|
Розв′яжемо його. |
|
p = 0, |
|
p((y − 1)p′ − p) = 0 |
(1) |
||
|
(2) |
||
З (1) маємо y′ = 0; |
|
( y − 1) p′ − p = 0 |
|
y = C - загальний розв′язок ДР-2 |
|
Рівняння (2) є ДР-1 з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його
|
|
dp |
= |
|
|
|
|
dy |
|
dp |
= |
|
|
dy |
|
+ lnC |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
p |
y − 1 |
|
|
∫ p |
|
|
|
|
∫ y − |
1 |
1 |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
|
p |
|
= ln |
|
y − 1 |
|
+ ln C1 ; |
|
p = C1 (y − 1). |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
y′ = C1(y −1) це |
|
|
ДР-1 з відокремлюваними змінними. Знайдемо |
|||||||||||||||||||||||||||||
його розв'язок |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
dy |
= C dx; |
|
|
dy |
|
|
|
= C |
dx + lnC |
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
y − 1 |
1 |
|
|
∫ y − 1 |
|
1 |
∫ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
ln |
|
y − 1 |
|
= C x + ln C |
2 |
. |
|
|
|
|
y − 1 = C |
eC1x |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|

23
y = C2eC1x + 1 - загальний розв′язок ДР-2.
3 Диференціальне рівняння F(x, y′′) = 0 , яке не містить шукану
функцію у та її похідну у′.
Можна знизити порядок ДР, як у випадку 7.1.1 або розв’язати ДР відносно у′′, якщо це можливо, і двічі проінтегрувати його:
y′′ = f (x) y′ = ∫ f (x)dx + C1
y = ∫(∫ f (x)dx + C1 )dx + C2 - загальний розв′язок ДР-2.
Приклад 15. Знайти загальний розв′язок ДР-2. y′′ = x − ln x
Розв’язання.
Рівняння розв′язане відносно у′′. Тому
|
|
|
|
|
|
(x − ln x)dx + C |
|
|
u = ln x; dv = dx |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
y′ = |
∫ |
|
|
= |
du = |
|
dx |
|
|
|
= |
∫ |
xdx − |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
; v = x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
+ ∫ x |
dx |
+ C1 = |
x2 |
|
− x ln x + x + C1 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u = ln x; dv = |
|||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x ln x + x + C1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|||||||||||||||
y = ∫ |
|
|
|
dx + C2 |
= |
= |
|
; v = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
x |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
x2dx − |
|
x2 |
ln x + |
|
|
x2 |
|
|
dx |
+ |
|
|
xdx + C |
|
|
|
dx + C |
|
||||||||||||||||||||
2 ∫ |
2 |
∫ 2 |
|
|
|
|
∫ |
|
∫ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
= |
1 |
|
x3 |
|
− |
x2 |
|
ln x + |
1 |
|
x2 |
|
+ |
x2 |
|
+ C1 x + C2 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Загальний розв′язок заданого ДР-2
x ln x +
xdx x2 =
2
=
y = |
x3 |
− |
x2 |
ln x + |
3 |
x |
2 + C x + C |
2 |
|
|
|
||||||
6 |
2 |
4 |
|
1 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
|
|
||||
4 Диференціальне рівняння F(y′, y′′) = 0 , яке не містить шукану |
||||||||||||||||
функцію у та змінну х. |
y′′ = (y′)′ , можна знизити порядок ДР шляхом |
|||||||||||||||
Враховуючи, що |
||||||||||||||||
заміни y′ = z, |
|
|
y′′ = z′ . Матимемо ДР-1 F(z; z′) = 0 . Розв’яжемо |
|||||||||||||
його відносно z: |
z = f (x)+ C1 або y′ = f (x)+ C1 . Проінтегруємо це |
|||||||||||||||
рівняння: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y = ∫( f (x)+ C1 )dx + C2 |
- загальний розв′язок ДР-2. |
|||||||||||||||
Приклад 16. Знайти загальний розв′язок ДР-2. |
||||||||||||||||
y′ + 2 = y′′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Розв′язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Враховуючи, що y′′ = (y′)′ |
= |
d |
(y′), зробимо заміну y′ = z , y′′ = z′ |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||
матимемо: |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z + 2 = z′ |
dz |
= dx . Проінтегруємо це рівняння: |
||||||||||||||
z + 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
dz |
|
= |
|
dx + lnC ln |
|
z + 2 |
|
= x + lnC |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
∫ z + |
2 |
∫ |
||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|||||
z + 2 = C ex ; |
z = C ex − 2 |
або y′ = C e x − 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|||
Маємо ДР-1 з відокремлюваними змінними. |
||||||||||||||||
y = ∫(C1e x − 2)dx + C2 = C1e x − 2x + C2 |
||||||||||||||||
y = C ex − 2x + C |
2 |
- загальний розв′язок заданого ДР-2. |
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5 Для ДР-2 |
|
F(x, y, y′, y′′) = 0 |
необхідно підібрати відповідну |
заміну, яка дозволить знизити порядок диференціального рівняння та розв′язати його. Якщо заміну підібрати складно, то ДР розв′язують, застосовуючи наближені методи.
Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (ЛОДР-2).
Ці рівняння мають вигляд

25
y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 , де a1 , a2 - дійсні числа. Загальний розв′язок ЛОДР-2
y = C1 y1 + C2 y2
де y1 , y2 -частинні розв′язки ЛОДР-2, які лінійно незалежні.
Щоб отримати загальний розв′язок цих рівнянь, необхідно скласти характеристичне рівняння, замінивши в заданому ДР похідну функції на змінну, степень якої співпадає з порядком похідної:
y′′ ~ k 2 ; y′ ~ k; y ~ k o = 1
Маємо алгебраїчне рівняння другого степеня: |
k |
2 + a k + a |
2 |
= 0 . |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Розв′яжемо |
його. |
Дискримінант |
D = a2 |
− 4a |
2 |
. За формулою |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
k1,2 = |
− a1 ± |
D |
знаходимо корені цього рівняння. |
Можемо мати |
||||||||||||||
|
2 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
три випадки: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
а) |
|
D > 0 k1 , k2 |
- дійсні, |
різні. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв′язок ЛОДР-2 має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y = C ek1x |
+ C |
2 |
ek2x ; |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) |
D = 0 k1 = k2 = k - дійсні, рівні. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Розв′язок ЛОДР-2 має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
y = (C + C |
2 |
x)ekx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
D < 0 k1,2 = α ± β i |
- |
комплексні, |
де |
|
− 1 = i - уявна |
|||||||||||
одиниця, α = a1 ; |
β = |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розв′язок ЛОДР-2 має вигляд: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
y = eαx (C cos βx + C |
2 |
sin βx) |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Приклад 17. Знайти загальний розв′язок ЛОДР-2. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
y′′ + 4y′ − 5y = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Розв’язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Складемо характеристичне рівняння k 2 + 4k − 5 = 0 , |
знайдемо його |
|||||||||||||||||
корені: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|

|
|
|
|
|
26 |
D = 16 + 4 5 = 36; |
|
D = 6 |
|||
k1 |
= − 4 + 6 = 1, k |
2 |
= − 4 − 6 = −5 |
||
|
2 |
|
|
2 |
|
Загальний розв′язок ЛОДР-2 |
|
e−5x |
|||
|
y = C ex + C |
2 |
|||
|
1 |
|
|
|
Приклад 18. Знайти частинний розв′язок ЛОДР-2
y′′ − 8y′ + 16y = 0, y(0) = 2; y(0) = 6
Розв′язання.
Складемо характеристичне рівняння k 2 − 8k + 16 = 0 , знайдемо його корені:
D = 64 − 4 16 = 0 , k1 = k2 = 4
Загальний розв′язок ЛОДР-2
y = (C1 + C2 x) e4x
Для знаходження частинного розв′язку визначимо сталі С1 і С2, застосовуючи початкові умови.
2 = (C1 + C2 0) e4 0 C1 = 2
y′ = C2 e4x + (C1 + C2 x) 4e4x
6 = C2e4 0 + (2 + C2 0) 4 e4 0 C2 = −2
Частинний розв′язок ЛОДР-2
yчаст |
= (2 − 2x)e4x |
|
|
Приклад 19. Знайти загальний розв′язок ЛОДР-2 |
|||
y′′ + 4y′ + 5y = 0 |
|
|
|
Розв′язання. |
|
|
|
Складемо характеристичне рівняння |
k 2 + 4k + 5 = 0 , знайдемо його |
||
корені: |
|
|
= − 4 ± 2i = −2 ± i |
D = 16 − 4 5 = −4; |
D = 2i , |
k |
|
|
|
1,2 |
2 |
α = −2; β = 1 |
|
|
|
|
|
|
Загальний розв′язок ЛОДР-2

27
y = e−2x (C1 cos x + C2 sin x)
Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами (ЛНДР-2).
Ці рівняння мають вигляд
y′′ + a1 y′ + a2 y = f (x), де а1, а2 – дійсні числа, f (x) - функція змінної х.
Загальний розв′язок цього рівняння складається із суми загального розв′язку відповідного ЛОДР-2 та частинного розв′язку ЛНДР-2: y = yодн + y , де уодн - загальний розв′язок відповідного
ЛОДР-2, y - частинний розв′язок ЛНДР-2. Знаходження загального розв′язку ЛОДР-2 розглянуто вище. Знаходження частинного розв′язку ЛНДР-2 залежить від вигляду функції f (x). Розглянемо окремі випадки вигляду функції f (x).
|
|
1 f (x) = eαx P (x), |
|
де α - дійсне число, P (x)- многочлен п-го |
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
степеня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= eαx Qn (x) xS , |
||
|
|
Частинний розв′язок |
|
|
знаходимо у вигляді |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|||||||
|
|
|
y |
|||||||||
де α - відповідає значенню α з функції |
f (x); |
Qn (x) - многочлен |
||||||||||
такого ж степеня як і Pn (x), записаний в загальному вигляді: |
||||||||||||
Q |
n |
(x) = b xn + b |
n−1 |
xn−1 |
+ ...+ b x3 |
+ b x |
2 + b x + b , |
|||||
|
n |
|
3 |
2 |
1 |
0 |
||||||
де bi (i = 0,1,...,n) |
невідомі коефіцієнти; s – дорівнює числу збігів α з |
коренями кі характеристичного рівняння для ЛОДР-2.
Для знаходження bі, необхідно в задане ЛНДР-2 підставити
y, y′ , y″ . З отриманого рівняння складемо систему рівнянь для
визначення bi, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної х.
Приклад 20. Знайти загальний розв′язок ЛНДР-2. y′′ − y′ − 6y = e−2x (x + 4)
Розв'язання.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Загальний розв’язок має вигляд |
|
y = yодн + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Знайдемо уодн, розв′язуючи відповідне ЛОДР-2: |
y′′ − y′ − 6y = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
Характеристичне |
рівняння |
для |
|
|
нього |
|
k 2 − k − 6 = 0 |
|||||||||||||||||||
k1 = −2, k2 |
= 3 . Тоді загальний розв′язок ЛОДР-2 має вигляд |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
одн |
= C e−2 x |
+ C |
2 |
e3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = e−2x (x + 4), |
|||||||||
|
|
В правій частині заданого ЛНДР-2 |
функція |
|||||||||||||||||||||||
де α = −2 i n = 1. |
Тому |
Q1 (x) = b1 x + b0 , s = 1 , |
так як |
|
k1 = α . |
|||||||||||||||||||||
Частинний |
|
|
розв′язок |
ЛНДР-2 |
|
шукатимемо |
у |
|
вигляді |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
= e−2x (b x + b ) |
x = e−2x |
(b x2 + b x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
′ , |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
″ , а |
|||||||||||||||||
|
|
Знайдемо значення коефіцієнтів |
b |
та b . Для цього |
y |
, |
y |
y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
саме : |
|
|
′ = e−2x (− 2)(b x2 + b x)+ e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2x (2b x + b ) = |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= e |
−2x (− 2b x2 − 2b x + 2b x + b |
) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
″ = e−2x (− 2)(− 2b x2 − 2b x + 2b x + b |
|
)+ e−2x |
(− 4b x − 2b + 2b ) = |
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
0 |
1 |
|
0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
1 |
= e−2x (4b1x2 + 4b0 x − 8b1x − 2b0 + 2b1 )
підставимо в задане ЛНДР –2. Отримаємо рівняння e−2x (4b1x2 + 4b0 x − 8b1x − 2b0 + 2b1 )−
− e−2x (− 2b1x2 − 2b0 x + 2b1x + b0 )− 6e−2x (b1x2 + b0 x)=
|
= e−2x (x + 4)| ÷ e−2x |
або |
|
|
|
|
|
|
||
4b x |
2 + 4b x − 8b x − 2b + 2b + 2b x2 |
+ 2b x − 2b x − b − 6b x2 |
− |
|||||||
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
− 6b0 x = x + 4
Приведемо подібні
− 10b1x − 3b0 + 2b1 = x + 4
Маємо рівність двох многочленів. Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної х:
29
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
− 10b1 = 1 |
|
|
|
|
b1 = −0,1 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
xo |
|
− 3b + 2b = 4 |
b = −1,4 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||
Частинний розв′язок ЛНДР-2 |
|
|
|
|
|
= e−2x (− 1,4x2 − 0,1x). |
|
|||||||||||||||||||||
|
y |
|
||||||||||||||||||||||||||
Загальний розв′язок ЛНДР-2 |
|
|
|
|
|
|
|
e3x + e−2x (− 1,4x2 − 0,1x) |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y = C e−2x |
+ C |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Приклад 21. Знайти частинний розв′язок ЛНДР-2. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y′′ − 3y′ + 2y = 36e− x , y(0) = 8, y′(0) = 2 |
|
|||||||||||||||||||||
Розв′язання. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = yодн + |
|
|
|
|||||||
Загальний розв’язок має вигляд |
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Знаходимо загальний розв′язок |
ЛОДР-2: |
|
y′′ − 3y′ + 2y = 0 . |
|||||||||||||||||||||||||
Характеристичне |
|
|
рівняння |
|
|
|
|
для |
нього |
k 2 − 3k + 2 = 0 |
|
|||||||||||||||||
k1 = 1; |
k2 = 2 . Тоді загальний розв′язок ЛОДР-2 має вигляд |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y |
одн |
= C ex |
+ C |
2 |
e2x . |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) = 36e− x , |
|
||||||
В |
правій |
частині |
ЛНДР-2 |
функція |
|
де |
||||||||||||||||||||||
α = −1, |
n = 0, s = 0 (α ≠ k1; |
α ≠ k2 ). Частинний розв′язок ЛНДР-2 |
||||||||||||||||||||||||||
шукатимемо у вигляді |
|
|
= Ae− x . Знайдемо значення коефіцієнта А. |
|||||||||||||||||||||||||
|
y |
|||||||||||||||||||||||||||
Для цього |
|
, |
|
′ , |
|
″ , а саме : |
|
|
|
|
′ = − Ae− x , |
|
″ = Ae− x , підставимо в |
|||||||||||||||
y |
y |
y |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
y |
||||||||||||||||||||||||
задане ЛНДР –2. Отримаємо рівняння |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Ae− x + 3Ae− x + 2Ae− x = 36e− x | ÷e− x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
6A = 36 A = 6 . Тоді |
|
= 6e− x . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Загальний розв′язок ЛНДР-2 має вигляд |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
y = C ex |
+ C |
2 |
e2x + 6e− x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо частинний розв′язок ЛНДР-2, застосовуючи початкові умови:
8 = C1e0 + C2e0 + 6e0 C1 + C2 = 2 y′ = C1ex + 2C2e2x − 6e− x
2 = C1e0 + 2C2e0 − 6e0 C1 + 2C2 = 8

30
Отримаємо значення C1 = −4 |
|
і |
C2 = 6 . Частинний |
розв′язок |
||||||||||
заданого ЛНДР-2 має вигляд: |
|
|
|
|
+ 6e− x |
|
|
|||||||
|
|
yчаст = −4ex + 6e2x |
|
|
||||||||||
2 f (x) =eαx (P (x)cos βx)+ Q |
n |
(x)sin βx , |
|
|
||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
де α , β - дійсні числа; Pn (x)i Qn (x) - многочлени одного степеня, |
||||||||||||||
вони можуть бути і сталими числами, а один із них навіть нулем. |
||||||||||||||
Частинний розв′язок |
|
знаходимо у вигляді |
|
|
||||||||||
y |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
= eαx (Sn (x)cos βx + Rn (x)sin βx) xS , |
|
|||||||||
|
|
|
y |
|
||||||||||
де α i β - |
відповідають |
значенням |
α i β |
з функції f (x); |
||||||||||
Sn (x)i Rn (x) |
- |
многочлени |
одного |
степеня |
рівного |
степеню |
||||||||
многочленів |
Pn (x)i Qn (x), |
але |
записані |
у загальному вигляді; s - |
||||||||||
дорівнює числу |
збігів α ± β i |
з коренями k1,2 |
характеристичного |
|||||||||||
рівняння для ЛОДР-2. |
|
|
|
|
|
|
|
Sn (x) та |
||||||
Для знаходження невідомих коефіцієнтів многочленів |
Rn (x) необхідно в задане ЛНДР-2 підставити y, y′ , y″ . З отриманого рівняння складемо систему рівнянь для визначення шуканих
коефіцієнтів, прирівнявши коефіцієнти при sin βx |
та cosβx . |
|||
Приклад 22. Знайти загальний розв′язок ЛНДР-2. |
||||
y′′ − 4y′ + 53y = 200cos 7x |
|
|||
Розв′язання. |
|
|
|
|
Загальний розв′язок ЛНДР-2 y = yодн + |
|
. |
|
|
y |
|
|||
Знаходимо загальний розв′язок ЛОДР-2: |
y′′ − 4y′ + 53y = 0 . |
|||
Характеристичне рівняння для нього k 2 − 4k + 53 = 0 |
||||
D = 16 − 4 53 = 16 − 212 = −196; k |
= 4 ± |
− 196 = 2 ± 7i |
||
1,2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Загальний розв′язок ЛОДР-2 має вигляд
yодн = e2x (C1 cos 7x + C2 sin 7x)