Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

математика 1874

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
07.02.2016
Размер:
530.12 Кб
Скачать

21

2 Диференціальне рівняння F(y, y, y′′) = 0 , яке не містить

змінну х.

Знизимо порядок диференціального рівняння шляхом заміни y′ = p(y), y′′ = p p

Отримаємо ДР-1: F(y, p, pp) = 0 . Розвяжемо його відноснофункції p:

p = ϕ (y,C1 ) або y′ = ϕ (y, C1 )

Проінтегруємо це диференціальне рівняння і отримаємо розв’язок ДР-2:

dy

 

= x + C2 .

ϕ (y,C

)

1

 

 

Приклад 13. Знайти частинний розвязок ДР-2

y3 y′′ = y 4 16, y(0) = 2 2, y(0) = 2

Розвязання.

Диференціальне рівняння не містить змінну х. Знизимо порядок

ДР-2

шляхом

 

заміни

 

y′ = p; y′′ = pp.

 

 

 

Маємо ДР-1

y3 p p′ = y 4 16

 

з відокремлюваними змінними. Розвяжемо його:

 

 

 

 

 

 

y

4

16

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pdp =

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

pdp = y

 

 

 

 

 

dy + C1

 

 

 

 

 

y

3

 

 

 

y

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p2

=

y2

+

8

+ C | 2 p2 = y2

 

+

16

+ 2C ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

2

 

 

 

 

y2

 

1

 

 

 

 

 

 

y 2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p =

 

y2 + 16 + 2C

або y′ =

y

2 + 16 + 2C

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

y2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо значення сталої С1,

застосовуючи початкові умови:

 

2 =

 

8 + 16 + 2C ;

2 = 2

 

5 + C C = −4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Маємо

ДР-1

y′ =

 

 

y2 + 16

8 = y 2 4

з

 

відокремлюваними

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

змінними. Розв’яжемо його:

 

 

 

 

22

 

 

 

 

ydy

 

= dx;

ydy

=

dx + C

 

y2

4

y2 4

2

 

 

 

 

1 ln y2 4 = x + C2

2

Знайдемо значення сталої С2 , застосовуючи початкові умови:

1 ln 8 4 = 0 + C2 C2 = ln 2.

2

Частинний розвязок заданого ДР-2 має вигляд

1 ln y2 4 = x + ln 2 y2 4 = 4e2x .

2

Приклад 14 Знайти загальний розвязок ДР-2

(y 1)y′′ = (y)2

Розвязання.

Диференціальне рівняння не містить змінну х. Знизимо порядок

ДР-2 шляхом заміни y′ = p; y′′ = p p.

 

Маємо ДР-1 :

(y 1)p p′ = p2

з відокремлюваними змінними.

Розвяжемо його.

 

p = 0,

 

p((y 1)p′ − p) = 0

(1)

 

(2)

З (1) маємо y′ = 0;

 

( y 1) p′ − p = 0

y = C - загальний розвязок ДР-2

 

Рівняння (2) є ДР-1 з відокремлюваними змінними. Розв’яжемо його

 

 

dp

=

 

 

 

 

dy

 

dp

=

 

 

dy

 

+ lnC

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

y 1

 

 

p

 

 

 

 

y

1

1

 

 

 

 

 

 

ln

 

p

 

= ln

 

y 1

 

+ ln C1 ;

 

p = C1 (y 1).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y′ = C1(y 1) це

 

 

ДР-1 з відокремлюваними змінними. Знайдемо

його розв'язок

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dy

= C dx;

 

 

dy

 

 

 

= C

dx + lnC

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y 1

1

 

 

y 1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ln

 

y 1

 

= C x + ln C

2

.

 

 

 

 

y 1 = C

eC1x

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

23

y = C2eC1x + 1 - загальний розвязок ДР-2.

3 Диференціальне рівняння F(x, y′′) = 0 , яке не містить шукану

функцію у та її похідну у.

Можна знизити порядок ДР, як у випадку 7.1.1 або розв’язати ДР відносно у′′, якщо це можливо, і двічі проінтегрувати його:

y′′ = f (x) y′ = f (x)dx + C1

y = (f (x)dx + C1 )dx + C2 - загальний розвязок ДР-2.

Приклад 15. Знайти загальний розвязок ДР-2. y′′ = x ln x

Розв’язання.

Рівняння розвязане відносно у′′. Тому

 

 

 

 

 

 

(x ln x)dx + C

 

 

u = ln x; dv = dx

 

 

 

 

 

 

y′ =

 

 

=

du =

 

dx

 

 

 

=

xdx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

; v = x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

dx

+ C1 =

x2

 

x ln x + x + C1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u = ln x; dv =

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ln x + x + C1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

y =

 

 

 

dx + C2

=

=

 

; v =

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

du

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

 

x2dx

 

x2

ln x +

 

 

x2

 

 

dx

+

 

 

xdx + C

 

 

 

dx + C

 

2

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

=

1

 

x3

 

x2

 

ln x +

1

 

x2

 

+

x2

 

+ C1 x + C2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

3

 

2

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Загальний розвязок заданого ДР-2

x ln x +

xdx x2 =

2

=

y =

x3

x2

ln x +

3

x

2 + C x + C

2

 

 

 

6

2

4

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

24

 

 

 

4 Диференціальне рівняння F(y, y′′) = 0 , яке не містить шукану

функцію у та змінну х.

y′′ = (y), можна знизити порядок ДР шляхом

Враховуючи, що

заміни y′ = z,

 

 

y′′ = z. Матимемо ДР-1 F(z; z) = 0 . Розв’яжемо

його відносно z:

z = f (x)+ C1 або y′ = f (x)+ C1 . Проінтегруємо це

рівняння:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ( f (x)+ C1 )dx + C2

- загальний розвязок ДР-2.

Приклад 16. Знайти загальний розвязок ДР-2.

y′ + 2 = y′′

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розвязання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Враховуючи, що y′′ = (y)

=

d

(y), зробимо заміну y′ = z , y′′ = z

 

матимемо:

 

 

 

 

 

 

 

dx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z + 2 = z

dz

= dx . Проінтегруємо це рівняння:

z + 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dz

 

=

 

dx + lnC ln

 

z + 2

 

= x + lnC

 

 

 

 

 

z +

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

z + 2 = C ex ;

z = C ex 2

або y′ = C e x 2

 

 

 

 

 

1

 

 

 

1

 

 

 

1

Маємо ДР-1 з відокремлюваними змінними.

y = (C1e x 2)dx + C2 = C1e x 2x + C2

y = C ex 2x + C

2

- загальний розвязок заданого ДР-2.

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 Для ДР-2

 

F(x, y, y, y′′) = 0

необхідно підібрати відповідну

заміну, яка дозволить знизити порядок диференціального рівняння та розвязати його. Якщо заміну підібрати складно, то ДР розвязують, застосовуючи наближені методи.

Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами (ЛОДР-2).

Ці рівняння мають вигляд

25

y′′ + a1 y′ + a2 y = 0 , де a1 , a2 - дійсні числа. Загальний розвязок ЛОДР-2

y = C1 y1 + C2 y2

де y1 , y2 -частинні розвязки ЛОДР-2, які лінійно незалежні.

Щоб отримати загальний розвязок цих рівнянь, необхідно скласти характеристичне рівняння, замінивши в заданому ДР похідну функції на змінну, степень якої співпадає з порядком похідної:

y′′ ~ k 2 ; y~ k; y ~ k o = 1

Маємо алгебраїчне рівняння другого степеня:

k

2 + a k + a

2

= 0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

Розвяжемо

його.

Дискримінант

D = a2

4a

2

. За формулою

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

k1,2 =

a1 ±

D

знаходимо корені цього рівняння.

Можемо мати

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

три випадки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а)

 

D > 0 k1 , k2

- дійсні,

різні.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розвязок ЛОДР-2 має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = C ek1x

+ C

2

ek2x ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б)

D = 0 k1 = k2 = k - дійсні, рівні.

 

 

 

 

 

 

 

Розвязок ЛОДР-2 має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = (C + C

2

x)ekx ;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в)

 

D < 0 k1,2 = α ± β i

-

комплексні,

де

 

1 = i - уявна

одиниця, α = a1 ;

β =

D

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розвязок ЛОДР-2 має вигляд:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = eαx (C cos βx + C

2

sin βx)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 17. Знайти загальний розвязок ЛОДР-2.

 

 

 

 

 

 

y′′ + 4y′ − 5y = 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Розв’язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Складемо характеристичне рівняння k 2 + 4k 5 = 0 ,

знайдемо його

корені:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26

D = 16 + 4 5 = 36;

 

D = 6

k1

= 4 + 6 = 1, k

2

= 4 6 = −5

 

2

 

 

2

Загальний розвязок ЛОДР-2

 

e−5x

 

y = C ex + C

2

 

1

 

 

 

Приклад 18. Знайти частинний розвязок ЛОДР-2

y′′ − 8y′ + 16y = 0, y(0) = 2; y(0) = 6

Розвязання.

Складемо характеристичне рівняння k 2 8k + 16 = 0 , знайдемо його корені:

D = 64 4 16 = 0 , k1 = k2 = 4

Загальний розвязок ЛОДР-2

y = (C1 + C2 x) e4x

Для знаходження частинного розвязку визначимо сталі С1 і С2, застосовуючи початкові умови.

2 = (C1 + C2 0) e4 0 C1 = 2

y′ = C2 e4x + (C1 + C2 x) 4e4x

6 = C2e4 0 + (2 + C2 0) 4 e4 0 C2 = −2

Частинний розвязок ЛОДР-2

yчаст

= (2 2x)e4x

 

 

Приклад 19. Знайти загальний розвязок ЛОДР-2

y′′ + 4y′ + 5y = 0

 

 

Розвязання.

 

 

 

Складемо характеристичне рівняння

k 2 + 4k + 5 = 0 , знайдемо його

корені:

 

 

= 4 ± 2i = −2 ± i

D = 16 4 5 = −4;

D = 2i ,

k

 

 

1,2

2

α = −2; β = 1

 

 

 

 

 

Загальний розвязок ЛОДР-2

27

y = e2x (C1 cos x + C2 sin x)

Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами (ЛНДР-2).

Ці рівняння мають вигляд

y′′ + a1 y′ + a2 y = f (x), де а1, а2 – дійсні числа, f (x) - функція змінної х.

Загальний розвязок цього рівняння складається із суми загального розвязку відповідного ЛОДР-2 та частинного розвязку ЛНДР-2: y = yодн + y , де уодн - загальний розвязок відповідного

ЛОДР-2, y - частинний розвязок ЛНДР-2. Знаходження загального розвязку ЛОДР-2 розглянуто вище. Знаходження частинного розвязку ЛНДР-2 залежить від вигляду функції f (x). Розглянемо окремі випадки вигляду функції f (x).

 

 

1 f (x) = eαx P (x),

 

де α - дійсне число, P (x)- многочлен п-го

 

 

 

n

 

 

 

 

 

n

 

 

 

степеня.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= eαx Qn (x) xS ,

 

 

Частинний розвязок

 

 

знаходимо у вигляді

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

y

де α - відповідає значенню α з функції

f (x);

Qn (x) - многочлен

такого ж степеня як і Pn (x), записаний в загальному вигляді:

Q

n

(x) = b xn + b

n1

xn1

+ ...+ b x3

+ b x

2 + b x + b ,

 

n

 

3

2

1

0

де bi (i = 0,1,...,n)

невідомі коефіцієнти; s – дорівнює числу збігів α з

коренями кі характеристичного рівняння для ЛОДР-2.

Для знаходження bі, необхідно в задане ЛНДР-2 підставити

y, y, y. З отриманого рівняння складемо систему рівнянь для

визначення bi, прирівнявши коефіцієнти при однакових степенях змінної х.

Приклад 20. Знайти загальний розвязок ЛНДР-2. y′′ − y′ − 6y = e2x (x + 4)

Розв'язання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

28

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Загальний розв’язок має вигляд

 

y = yодн +

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо уодн, розвязуючи відповідне ЛОДР-2:

y′′ − y′ − 6y = 0 .

Характеристичне

рівняння

для

 

 

нього

 

k 2 k 6 = 0

k1 = −2, k2

= 3 . Тоді загальний розвязок ЛОДР-2 має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

одн

= C e2 x

+ C

2

e3x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = e2x (x + 4),

 

 

В правій частині заданого ЛНДР-2

функція

де α = −2 i n = 1.

Тому

Q1 (x) = b1 x + b0 , s = 1 ,

так як

 

k1 = α .

Частинний

 

 

розвязок

ЛНДР-2

 

шукатимемо

у

 

вигляді

 

 

 

 

= e2x (b x + b )

x = e2x

(b x2 + b x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

, а

 

 

Знайдемо значення коефіцієнтів

b

та b . Для цього

y

,

y

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

саме :

 

 

= e2x (2)(b x2 + b x)+ e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x (2b x + b ) =

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

0

 

 

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e

2x (2b x2 2b x + 2b x + b

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

0

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= e2x (2)(2b x2 2b x + 2b x + b

 

)+ e2x

(4b x 2b + 2b ) =

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

0

1

 

0

 

 

 

 

1

 

 

0

1

= e2x (4b1x2 + 4b0 x 8b1x 2b0 + 2b1 )

підставимо в задане ЛНДР –2. Отримаємо рівняння e2x (4b1x2 + 4b0 x 8b1x 2b0 + 2b1 )

e2x (2b1x2 2b0 x + 2b1x + b0 )6e2x (b1x2 + b0 x)=

 

= e2x (x + 4)| ÷ e2x

або

 

 

 

 

 

 

4b x

2 + 4b x 8b x 2b + 2b + 2b x2

+ 2b x 2b x b 6b x2

1

0

1

0

1

1

0

1

0

1

 

6b0 x = x + 4

Приведемо подібні

10b1x 3b0 + 2b1 = x + 4

Маємо рівність двох многочленів. Прирівняємо коефіцієнти при однакових степенях змінної х:

29

 

 

 

 

 

 

 

x

 

10b1 = 1

 

 

 

 

b1 = −0,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xo

 

3b + 2b = 4

b = −1,4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

 

1

 

 

0

 

 

 

 

 

Частинний розвязок ЛНДР-2

 

 

 

 

 

= e2x (1,4x2 0,1x).

 

 

y

 

Загальний розвязок ЛНДР-2

 

 

 

 

 

 

 

e3x + e2x (1,4x2 0,1x)

 

 

 

 

 

 

 

 

y = C e2x

+ C

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Приклад 21. Знайти частинний розвязок ЛНДР-2.

 

 

 

 

 

 

 

y′′ − 3y′ + 2y = 36ex , y(0) = 8, y(0) = 2

 

Розвязання.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = yодн +

 

 

 

Загальний розв’язок має вигляд

y

 

 

Знаходимо загальний розвязок

ЛОДР-2:

 

y′′ − 3y′ + 2y = 0 .

Характеристичне

 

 

рівняння

 

 

 

 

для

нього

k 2 3k + 2 = 0

 

k1 = 1;

k2 = 2 . Тоді загальний розвязок ЛОДР-2 має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

y

одн

= C ex

+ C

2

e2x .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) = 36ex ,

 

В

правій

частині

ЛНДР-2

функція

 

де

α = −1,

n = 0, s = 0 (α k1;

α k2 ). Частинний розвязок ЛНДР-2

шукатимемо у вигляді

 

 

= Aex . Знайдемо значення коефіцієнта А.

 

y

Для цього

 

,

 

,

 

, а саме :

 

 

 

 

= − Aex ,

 

= Aex , підставимо в

y

y

y

 

 

 

 

y

y

задане ЛНДР –2. Отримаємо рівняння

 

 

 

 

 

 

Aex + 3Aex + 2Aex = 36ex | ÷ex

 

 

 

6A = 36 A = 6 . Тоді

 

= 6ex .

 

 

 

y

 

 

 

Загальний розвязок ЛНДР-2 має вигляд

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = C ex

+ C

2

e2x + 6ex

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Знайдемо частинний розвязок ЛНДР-2, застосовуючи початкові умови:

8 = C1e0 + C2e0 + 6e0 C1 + C2 = 2 y′ = C1ex + 2C2e2x 6ex

2 = C1e0 + 2C2e0 6e0 C1 + 2C2 = 8

30

Отримаємо значення C1 = −4

 

і

C2 = 6 . Частинний

розвязок

заданого ЛНДР-2 має вигляд:

 

 

 

 

+ 6ex

 

 

 

 

yчаст = −4ex + 6e2x

 

 

2 f (x) =eαx (P (x)cos βx)+ Q

n

(x)sin βx ,

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

де α , β - дійсні числа; Pn (x)i Qn (x) - многочлени одного степеня,

вони можуть бути і сталими числами, а один із них навіть нулем.

Частинний розвязок

 

знаходимо у вигляді

 

 

y

 

 

 

 

 

 

= eαx (Sn (x)cos βx + Rn (x)sin βx) xS ,

 

 

 

 

y

 

де α i β -

відповідають

значенням

α i β

з функції f (x);

Sn (x)i Rn (x)

-

многочлени

одного

степеня

рівного

степеню

многочленів

Pn (x)i Qn (x),

але

записані

у загальному вигляді; s -

дорівнює числу

збігів α ± β i

з коренями k1,2

характеристичного

рівняння для ЛОДР-2.

 

 

 

 

 

 

 

Sn (x) та

Для знаходження невідомих коефіцієнтів многочленів

Rn (x) необхідно в задане ЛНДР-2 підставити y, y, y. З отриманого рівняння складемо систему рівнянь для визначення шуканих

коефіцієнтів, прирівнявши коефіцієнти при sin βx

та cosβx .

Приклад 22. Знайти загальний розвязок ЛНДР-2.

y′′ − 4y′ + 53y = 200cos 7x

 

Розвязання.

 

 

 

 

Загальний розвязок ЛНДР-2 y = yодн +

 

.

 

y

 

Знаходимо загальний розвязок ЛОДР-2:

y′′ − 4y′ + 53y = 0 .

Характеристичне рівняння для нього k 2 4k + 53 = 0

D = 16 4 53 = 16 212 = −196; k

= 4 ±

196 = 2 ± 7i

1,2

 

 

 

2

 

 

 

 

Загальний розвязок ЛОДР-2 має вигляд

yодн = e2x (C1 cos 7x + C2 sin 7x)