4.2 Переклад правильних дробів множенням на основу системи числення

Дробову частину числа можна записати в новій системі:

_{, (4.1)}

цей вираз можна переписати по схемі Горнера:

_.

Якщо праву частину множити послідовно на q₂, то знаходитимемо новий неправильний дріб, в цілій частині якої будуть числа b_-1, b_-2, ..., b_-k, при цьому всі дії повинні виконуватися за правилами q₁-арифметики, і отже в цілій частині дробів, що виходять, з’являтимуться еквіваленти чисел нової системи числення, записані в початковій системі числення.

Приклад: Перевести десятковий дріб 0,625 в двійкову систему числення. Рішення:

0,	6252
1	2502
0	5002
1	0002
0	000

Відповідь: N= 0,1010. Перевірити за формулою 4.1.

Правило: для перекладу правильного дробу (без цілої частини) необхідно, діючи в арифметиці початкової системи числення, помножити число, що переводиться, на основу нової системи, у результату відокремити цілу частина, а дробову частину, що залишилася, знову помножити на цю основу і так до отримання потрібного числа значущих цифр. Результат записувати як 0, ... і дробову частину у порядку отримання.

Приклад. Перевести двійковий дріб 0,1101 в десятковий.

Рішення:

	0,	11011010
b-1	1000,	00101010
b-2	0001,	01001010
b-3	0010,	10001010
b-4	0101,	0000

Відповідь: N=0,8125.

При перекладі правильних дробів з однієї системи числення в іншу, може вийде дріб у вигляді нескінченного ряду або ряду, що розходиться. Тому, процес перекладу необхідно закінчувати:

- при появі в дробовій частині по всіх розрядах нулів;

- якщо буде досягнута задана точність дробу (тобто необхідне число роз рядів).

Приклад. Перевести дріб 0,543 з шісткової системи в трійкову.

Рішення:

0,	543(6)3
2,	5133
2,	3433
1,	513

Відповідь: N= 0,543₍₆₎~0,221₍₃₎=0,532₍₆₎

4.3 Переклад неправильних дробів

Правило. Для перекладу неправильного дробу (тобто такого дробу, що містить цілу частину) з однієї системи числення в іншу необхідно здійснити роздільно переклад її цілої і дробової частин, а результати записати послідовно, відокремивши цілу частина від дробової комою.Наприклад: 98,625₍₁₀₎дорівнює 1100010,1010_(2).

4.4 Переклад з 16-ої і 8-ої систем в 2-ву і навпаки

При перекладі чисел з десяткової системи в 2-ву, часто викорис-товують проміжну 8-ву систему. Це дає економію в числі операцій.

Таблиця 4.1  Переводубінарну систему

q2=8		q2=2
Число	залишок	число	залишок	тріада
121	1	121	1
15	7	60	0	1
1	1	30	0
3 кроки		15	1
		7	1	7
		3	1
		1	1	1
			7 кроків

Приклад. Перевести десяткове число 121 в двійкове (див. табл. 4.1) через проміжну 8-у систему. Для порівняння наведен переклад через основуq=2.

Правило. Щоб перевести число з 16-ї і 8-ї системи в 2-у необхідно кожну цифру числа, що переводиться, представити відповідно чотирирозрядним або трирозрядним двійковим кодом (тетрадами або тріадами), розташував їх на місцях (розрядах) цих цифр. Нулі в старших і молодших розрядах, що не змінюють значення числа можна опускати.

Приклади: 171₍₈₎в двійковеN=001 111 001;

753,335₍₈₎в двійкове

N=111 101 011,011 011 101.

Правило. Для перекладу чисел з двійкової системи числення в шістнадцяткову (вісімкову) слід двійкові цифри числа, що переводиться, згрупувати по чотири (три) в обидві сторони від коми (при необхідності неповні групи доповнити нулями), кожну групу двійкових цифр замінити відповідною їй цифрою в новій системі числення. Нові цифри розташувати на місцях замінюваних кодів.

Приклад: 111111010,1100001001₍₂₎перевести в 16-у і 8-у системи числення.

а) 0001 1111 1010 , 1100 0010 0100₍₂₎

1 F А , 3 2 4₍₁₆₎

Відповідь: 1FA,C24₍₁₆₎

б) 111 111 010, 110 000 100 100₍₂₎

7 7 2 , 6 0 4 4 ₍₈₎

Відповідь: 772,6044₍₈₎

Узагальнюючи, робимо висновок: у якості проміжних систем числення, доцільно використатисистеми з основоюq=2^k, для спрощення перетворення їх в двійкову систему і навпаки (де цифри замінюють їх еквівалентами).