4.1.2 Метод ділення на основу нової системи

Поліном цілого числа N(q₁) можна записати за схемою Горнера в іншому вигляді:

де b₀…b_k -коефіцієнти молодшого b₀, старшого b_k розрядів числа N(q₂).

Якщо праву частину розділити на q₂, то отримаємо цілу частину (у лапках) і залишок зb_і (0<i<k). Повторюючи діленняk+1 разів отримуємо кожного разу залишкиb₁, b₂, ...,b_кі цілі частини. Останній залишок b_кє старшим розрядом залишку числа, представленого в основіq₂(неподільний залишок).

Приклад. 12₍₁₀₎перевести в бінарну (двійкову) систему числення.

Рішення. Ділимо на q=2 (у дужки поміщений залишок):

12:2=6(0)

6 : 2=3(0)

3 : 2=1(1)

Частка (1) менше основи 2, тому це теж залишок, причому старший, тому припиняємо ділення. Відповідь: 1100 (12₍₁₀₎).

4.1.3 Метод ділення на основу в будь-якій позитивній степіні

Попередній метод має один недолік. При великих числах, операція ділення має багато ітерацій. Це знижує швидкодію. Метод ділення на основу нової системи в будь-якому позитивному степіні аналогічний попередньому. Тут беруть для ділення число (з новою основою q_k) близьке до заданого числаN(q_i), але що не перевищує його. Кожен залишок від ділення записують в двійкових розрядах, число яких рівне узятому степіні.

Наприклад. Перевести в бінарну систему числення число N=523 _(10).

Рішення. Вибираємо, найближче до заданого, число 2⁹= 512 і ділимо:

523 : 512=1(залишок 11).

Отримали два залишки: старший 1, молодший11. Кожний із залишків розписуємо в дев’яти бінарних розрядах: 1000000000 і 000001011. Потім сполучаємо (додаємо) записи (старші нулі можна не записувати) і отримуємо результат- число 1000001011.

В двійковій системі (для цілого числа) b₀завжди «0» або «1». В першому випадкуN(q₂)це парне число, в другомунепарне.

4.1.4 Метод віднімання найближчих, менших степінних ваг

Метод полягає в наступному. Вибирають значення найближчої, розрядної ваги бінарного (двійкового) числа, менше заданого.

Віднімаючи його від заданого числа, отримують залишок. У розряді вибраної ваги, ставиться 1. Потім порівнюють залишок з новим меншим ваговим розрядом. Якщо залишок менший, то в цьому ваговому розряді ставиться 0, якщо залишок більший, то в цьому розряді ставиться 1, а із залишку віднімається вага цього розряду. Виходить новий залишок, який знову порівнюється з наступними меншими вагами. Так продовжується до останнього (молодшого) вагового бінарного розряду і отримаютьчисло.

Приклад. Перевести десяткове число 1125 в двійкове. Метод віднімання менших найближчих розрядних ваг. Найближчою меншою розрядною вагою буде число 1024=2¹⁰. Ставимо в десятому розряді 1 (зліва від коми, де міститься 2¹⁰).

Віднімаємо 11251024 =101, де 101десятковийзалишок, який порівнюємо з числом 2⁹= 512. Залишок 101 менше 512, це означає, що на місці 2⁹ставимо 0. Порівнюємо наступну розрядну вагу 2⁸= 256>101. Знову на місці розрядної ваги 2⁸ставимо 0. Аналогічно буде і для розряду 2⁷ ставимо 0. Порівнюємо наступну розрядну вагу 2⁶=64<101. У цьому розряді ставимо 1 і віднімаючи 10164=37 отримуємо новий залишок, який порівнюємо з розрядною вагою 2⁵=32<37. В цьому розряді ставимо 1, і віднімаючи 3732=5, отримуємо новий залишок, який легко розписати в чотирьох розрядах, що залишилися: 0101. Таким чином, отримуємо число 10001100101₍₂₎=1125_(10).Перевіримо: 1024+64+32+4+1=1125.

Метод виключає громіздку операцію ділення і при невеликому досвіді легко виконується користувачем. Метод придатний для перекладу як цілої, так і дробової частини числа.