3.2 Вибір системи числення комп’ютера

3.2.1 Переваги двійкової системи

Розробку комп’ютера починають з вибору системи числення, методів виконання арифметичних і логічних операцій, елементної бази. Ці питання є важливими, оскільки повинні забезпечити задану точність і швидкість обчислень, надійність в роботі, діапазон чисел.

Вибір системи числення у великій мірі обумовлюється наступними основними причинами:

1. Основу системи визначає число знаків (їх зображень) в одному розряді. Тут перевагу має двійкова система, а не десяткова оскільки вона вимагає всього два знаки (стани), а десяткова десять. Елементи, з десятьма станами (декатрони), що є в наш час, мають малу швидкість перемикання, громіздкі, мають невисоку надійність в роботі.

2. З одного боку система числень повинна забезпечитипростоту арифметичних операцій, а з іншого великий діапазон уявних чисел. Ці дві суперечності вирішуються на користьпростоти арифметичних операційпри представленні чисел. Насправді, в двійковій системі не треба додаткових пристроїв представлення чисел. Сам сигнал несе інформацію про число і має двійкову природу: є сигнал або його немає - "1 " або "0". Крім того, майже всі елементи електронних схем (є струм/ напруга або ні) мають двійкову природу (реле, діод, транзистор, тригер, фотоприймач, стан оптоволокна, ін.).

Якщо прийняти показник ефективності системи з погляду витрат устаткування:

де qоснова (глибина) системи,n– довжина (розрядність) системи.

Розрядність nвизначається з діапазону уявних чисел. Максимальне число з основоюq: звідси знайдемо n:

n=log_q( N_{(q) max} + 1),

тоді витрати на устаткування підраховують за формулою:

_{C = q logq (N(q) max + 1).}

Якщо за одиницю устаткування прийняти умовний елемент з одним стійким станом, то можна порівняти системи числення з погляду витрат.

Графік відносного показника приведений на рис. 3.2.

Рисунок 3.2 Відносні витрати при різних значеннях основ

Наймінімальніші витрати будуть при основі е= 2,72, тобто, з погляду витрат, виходить найекономнішою буде система зq=3. Вона застосовується в ЕОМ "Сетунь". Проте, більшість ЕОМ використовують двійкову системи через простоту арифметичних операцій в ній.

Розглянемо це на прикладі складання в цій системі:

0+0=0, 1+0=1, 0+1=1, 1+1=10.

Складання цілих чисел без знаку представлено схемою (рис. 3.3).

Приклад. Знайти С=А+В.А=+1011 (+11);В=+1001 (+9);С=+10100 (+20).

Рисунок 3.3Структурна схема бінарного (двійкового) суматора

Множення проводиться в двійковій системі ще простіше: 00=0, 01=0, 10=0, 11=1.

4 Методи перекладу чисел з однієї позиційної системи числення в іншу

Раніше ми відзначали, що будь-яке число можна представити поліномом з основоюq₁, але це ж число можна представити іншим поліномом (див. рис. 3.3) з основоюq₂, інакше:N(q₁)=N(q₂). Представимо це для загального числа (що має цілу і дрібну частининеправильний дріб) у наступному вигляді:

4.1 Методи перекладу цілих чисел

4.1.1 Метод підбору коефіцієнтів

Завдання перекладу числа з основою q₁в число з основоюq₂ зводиться до відшукування коефіцієнтів полінома нової основи. Цю задачу можна вирішити методом підбору коефіцієнтів полінома.

Правило. На початку беремо число з максимальною степінню основи, перевіряємо її вхід до даного числа так, щоб воно не перевищувало задане, потім підбираємо коефіцієнти менших степіней полінома, так щоб сума давала початкове число. Всі дії повинні виконуватися за правилами q_і-ї арифметики, тобто за правилами початкової системи числення.

Наприклад. Перевести десяткове число 96 у трійкову систему.

Рішення. 96 = 03⁵+13⁴+ 03³+13²+23¹+ 03⁰= 010120₍₃₎

Проведемо перевірку методом підстановки значень ваги розрядів, множення його на підібраний коефіцієнт і обчислення загальної суми.

96=0243 + 181 + 027 + 19 +23 + 01.

Цей прийом застосовується тільки при "ручних" перекладах. Машинні алгоритми використовують метод ділення на основу нової системи числення.