Уравнение Максвелла для гармонических сигналов

В технике СВЧ интерес представляет в основном поля, изменяющиеся во времени по гармоническому закону (т.е. носят синусоидальный характер).

Пользуясь комплексным методом, запишем векторы электрического и магнитного полей:

, , (33)

где – круговая частота.

Подставим эти выражения в I и II – е уравнения Максвелла

, .

После дифференцирования имеем:

, (34)

. (35)

Уравнение (34) можно преобразовать к виду:

,

где – комплексная относительная диэлектрическая проницаемость с учётом потерь в среде.

Отношение мнимой части комплексной относительной диэлектрической проницаемости к действительной представляет тангенс угла диэлектрических потерь . Таким образом уравнения Максвелла для гармонических колебаний при отсутствии свободных зарядовимеют вид:

, (36)

, (37)

, (38)

. (39)

В таком виде уравнения Максвелла неудобны и их преобразуют.

Уравнения Максвелла легко сводятся к волновым уравнениям, в которые входит только один из векторов поля. Определяя из (37) и подставляя его в (36), получаем:

,

раскроем левую часть используя формулу III:

тогда .

Введём обозначения , тогда с учётом, получим:

. (40)

Такое же уравнение можно получить относительно

. (41)

Уравнения (40) – (41) получили название уранений Гельмгольца. Они описывают распространение волн в пространстве и являются доказательством того, что изменение во времени электрического и магнитного полей приводит к распространению электромагнитных волн в пространстве.

Эти уравнения справедливы для любой системы координат. При использовании прямоугольной системы координат будем иметь:

, (42)

, (43)

где – едичничные векторы

Если подставить соотношение (42) и (43) в уравнения (40) и (41), то последние распадаются на шесть независимых уравнений:

, ,

, (44) , (45)

, ,

где .

В общем случае в прямоугольной ситеме координат для нахождения составляющих поля необходимо решить одно линейное дифференциальное уравнение второго порядка

,

где – одна из составляющих поля, т.е.. Общее решение этого уравнения имеет вид

, (46)

где – функция распределения поля в плоскости фронта волны не зависящая от.

Энергетические соотношения в электромагнитном поле. Теорема Умова-Пойнтинга

Одной из важнейших характеристик электромагнитного поля является его энергия. Впервые вопрос об энергии электромагнитного поля был рассмотрен Максвеллом, который показал, что полная энергия поля, заключённого внутри объёма , складывается из энергии электрического поля:

, (47)

и энергии магнитного поля:

. (48)

Таким образом, полная энергия электромагнитного поля равна:

. (49)

В 1874г. проф. Н. А. Умов ввел понятие о потоке энергии, а в 1880г. это понятие было применено Пойнтингом к исследованию электромагнитных волн. Процесс излучения в электродинамике принято характеризовать, определяя в каждой точке пространства вектор Умова-Пойнтинга.

Физически правильные результаты, согласующиеся как с законом сохранения энергии, так и с уравнениями Максвелла, получается в том случае, если выразить вектор Умова-Пойнтинга через мгновенные значения иследующим образом:

.

Возьмём первое и второе уравнения Максвелла и умножим первое на , а второе наи сложим:

,

, (50)

где .

Таким образом, уравнение (50) можно записать в виде

,

интегрируя по объему и меняя знаки, имеем:

.

Перейдем от интеграла по объему к интегралу по поверхности

,

или с учетом получим:

,

, то ,,

. (51)

Полученное уравнение выражает закон сохранения энергии в электромагнитном поле (теорему Умова-Пойнтинга.). Левая часть уравнения представляет собой скорость изменения во времени полного запаса энергии электромагнитного поля в рассмотренном объеме . Первый член правой части есть количество тепла, выделяющегося в проводящих частях объёмаза единицу времени. Второе слагаемое представляет поток вектора Умова-Пойнтинга через поверхность, ограничивающую объем.Вектор есть плотность потока энергии электромагнитного поля.Т.к., то направление вектораможно определить по правилу векторного произведения /правилу буравчика/ (рис. 9). В системеСИвекторимеет размерность.

Рисунок 9 – К определению вектора Умова-Пойнтинга