ТЕМА 5

МНОГОМЕРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Определение многомерной случайной величины и ее закон распределения. Система двух дискретных случайных величин, числовые характеристики системы, корреляционный момент, коэффициент корреляции и его свойство. Функция распределения вероятностей и плотность вероятностей системы, их свойства. Числовые характеристики системы двух непрерывных случайных величин. Условные законы распределения и их числовые характеристики. Определение корреляционной зависимости. Система случайных величин, числовые характеристики системы, корреляционная матрица, нормированная корреляционная матрица.

1. Многомерная случайная величина.

При изучении случайных явлений в зависимости от их сложности приходится использовать две, три и большее число случайных величин. Например, точка попадания снаряда определяется не одной, а двумя случайными величинами: абсциссой и ординатой. При различных измерениях мы очень часто имеем дело с двумя или тремя случайными величинами.

Совместное рассмотрение двух или нескольких случайных величин приводит к системе случайных величин. Условимся систему нескольких случайных величин обозначать. Такая система также называетсямногомерной случайной величиной. При изучении системы случайных величин недостаточно изучить в отдельности случайные величины, составляющие систему, необходимо учитывать еще и связи или зависимости между этими величинами. Здесь возникают новые, отличные от рассмотренных ранее, задачи.

При рассмотрении системы случайных величин удобно пользоваться геометрической интерпретацией системы. Так, например, систему двух случайных величин можно рассматривать как случайную точку на плоскостис координатамииили как случайный вектор на плоскости со случайными составляющимии. По аналогии, системуслучайных величинможно рассматривать как случайную точку в-мерном пространстве или как-мерный случайный вектор.

При изучении систем случайных величин ограничимся подробным изучением системы двух случайных величин, т. к. все положения, касающиеся системы двух случайных величин, можно легко распространить на систему трех, четырех и более случайных величин.

2. Закон распределения системы случайных величин.

Законом распределения системы случайных величин называется соотношение, устанавливающее связь между областями возможных значений системы случайных величин и вероятностями появления системы в этих областях.

Так же как и для одной случайной величины, закон распределения системы случайных величин может быть задан в различной форме. Рассмотрим сначала таблицу распределения системы дискретных случайных величин. Пусть и- дискретные случайные величины, возможные значения которых, где, а. Тогда распределение системы таких случайных величин может быть охарактеризовано указанием вероятностейтого, что случайная величинапримет значениеи одновременно с этим случайная величинапримет значение. Вероятностисводятся в таблицу вида

			...
			...
			...
...	...	...	...	...
			...

Такая таблица называется таблицей распределения системы двух дискретных случайных величин с конечным числом возможных значений. Все возможные события приисоставляют полную группу несовместных событий, поэтому

.

При этом

,

.

3. Функция распределения.

Функцией распределения системы двух случайных величин называется функция двух аргументов , равная вероятности совместного выполнения двух неравенстви, т. е.

.

Геометрически функция распределения системы двух случайных величин представляет собой вероятность попадания случайной точки в левый нижний бесконечный квадрант плоскости (рис. 14) с вершиной в точке.

Рис. 14

Сформулируем основные свойства функции распределения системы двух случайных величин.

Свойство 1. Если один из аргументов стремится к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к функции распределения одной случайной величины, соответствующей другому аргументу:

,

,

или символически:

,

.

Свойство 2. Если оба аргумента стремятся к плюс бесконечности, то функция распределения системы стремится к единице:

,

или

.

Свойство 3. При стремлении одного или обоих аргументов к минус бесконечности функция распределения стремится к нулю:

,

или

.

Свойство 4. Функция распределения является неубывающей функцией по каждому аргументу:

, если ,

, если .

Свойство 5. Вероятность попадания случайной точки в произвольный прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям, вычисляется по формуле:

(рис. 15).

Рис. 15.