• Рух тіла зі змінною масою. Рівняння мещерського

Розглянемо тепер випадок руху тіла, яке має змінну масу. Окрім ракет, можна вказати на те, що з часом руху зменшують свою масу також звичайні автомобілі (просто за рахунок спалювання палива). Тоді як маса сніжної кулі, яка котиться з гори, або вагону, який завантажують з нерухомого бункеру під час руху, навпаки, збільшуються з часом. Отже, ситуації руху тіл із змінною масою не є рідкісними явищами у механіці. У такій ситуації не можна, зрозуміло, користуватися другим законом Ньютона у стандартній формі.

Розглянемо рух ракети, тобто такого тіла, яке рухається внаслідок швидкого згорання палива в його корпусі. При цьому струмінь продуктів згорання уносить з собою деякий імпульс, через що ракета отримує певний імпульс у протилежному напрямі. Отже, вектори швидкості ракети відносно системи відліку (), і вектор швидкості газового струменю відносно ракети (), обидва спрямовані по дотичній до траєкторії руху, але тільки у протилежні сторони.

Нехай - функція залежності маси ракети від часу. Тоді другий закон Ньютона можна записати у вигляді:

	(1.7.30)
	(1.7.31)
де	(1.7.32)

- повна зміна імпульсу ракети за інтервал часу , - зовнішня сила (рівнодіюча всіх сил), яка діє на ракету. Як видно з (1.7.32) повна зміна імпульсу складається з двох частин: зміна імпульсу власне ракети - ( плюс зміна імпульсу продуктів згорання - . Підставляючи (1.7.31) в (1.7.30) та ділячи обидві частини рівняння на інтервал часу , отримуємо рівняння такого вигляду:

(1.7.33)

Останнє рівняння має назву рівняння Мещерського, видатного механіка, який присвятив його вивченню багато років. Друга складова в його правій частині отримала назву реактивної сили.

Як видно з рівняння Мещерського, рух ракети обумовлений не лише зовнішніми силами, але також дією газів, які витікають з ракети крізь сопло зі швидкістю (відносно ракети) і ця дія описується другим чинником правої частини рівняння Мещерського (реактивною силою).

Спрощений варіант рівняння Мещерського (в наближенні, що відповідає рухові у просторі далеко від зовнішніх силових центрів: ) та у припущенні, що розглядався Ціолковським (в його рівнянні - модуль вектора ):

(1.7.34)

Розділяючи змінні:

(1.7.35)

та інтегруючи можемо отримати:

(1.7.36)

або у формі:

(1.7.37)

Маса в лівій частині рівняння називається корисною масою ракети, маса - початкова маса ракети та палива (або повна маса). Як видно з рівняння (1.7.37) та наведеного графіку, корисна маса швидко зменшується із збільшенням відношення - кінцевої швидкості (), до якої треба розігнати ракету, до швидкості течії продуктів згорання палива (). При , наприклад, , тобто маса палива повинна скласти понад 95% початкової (повної) маси ракети.