|
Херсонський національний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики |
МЕХАНІКА ТВЕРДОГО ТІЛА Лекція 1.8. |
|
|
|
|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.8.
МЕХАНІКА ТВЕРДОГО ТІЛА-
Абсолютно тверде тіло в механіці. Центр мас. Закон руху центру мас
Досі ви вивчали механіку матеріальної точки (тіла). Тепер ви дізнаєтеся про особливості механіки твердого тіла. Під час лекції 1.1 ми ввели поняття абсолютно твердого тіла, яке являє собою ідеалізовану модель в механіці. Пригадаємо: за означенням абсолютно тверде тіло – це система матеріальних точок, взаємне розміщення яких під час руху твердого тіла не змінюється. Надалі, як і взагалі в класичній механіці, під матеріальними точками ми розумітимемо не атоми або молекули, а досить малі мікроскопічні частинки, на які подумки можна поділити тіло.
Як ви вже знаєте, будь-який складний рух твердого тіла можна розкласти на поступальний та обертальний рухи. Для того, щоб мати уявлення про розподіл швидкостей в тілі, яке обертається навколо нерухомої осі, досить розглянути рух його частинок, що лежать в одній з площин, перпендикулярних до осі обертання. Більш загальний випадок руху плоского твердого тіла, коли площа обертання збігається з площею самого тіла при відсутності нерухомої осі обертання, розглянуто у [7,с.48].
На відміну від нерухомої осі, яка зберігає своє положення в тілі і в просторі, дуже часто використовують так звану миттєву вісь, яка в загальному випадку зазнає переміщення як в тілі, так і в просторі. Миттєва вісь призначена для описання миттєвого розподілу швидкостей частинок твердого тіла. Приклад наведено в [7,с.48].
Кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є кутова швидкість і кутове прискорення (лекція 1.1), які для будь-яких частин тіла є величинами сталими.
Рух
твердого тіла як системи матеріальних
точок в загальному випадку досить
складний. Однак у такій системі існує
точка, яка при відсутності дії зовнішніх
сил рухається по прямій лінії. Цю точку
називають центром
мас
системи матеріальних точок – точка, в
якій зібралася б уся маса системи
матеріальних точок при взаємодії із
силами притягання, що нескінченно
зростають. Радіус-вектор
центра
мас
для тіл з
дискретним розподілом мас
визначається за формулою:
|
|
(1.8.1) |
=
=
де
- маси матеріальних точок,
- радіуси-вектори матеріальних точок,
- маса всієї системи. Для суцільного
тіла,
тобто з неперервним розподілом мас,
центр мас:
|
|
(1.8.2) |
=
,де
- густина тіла,
- радіуси-вектори елементарних об’ємів
,
- маса тіла.
Координати центра мас для тіл з дискретним розподілом мас визначаються за допомогою таких виразів:
|
|
(1.8.3) |
=
,
=
,
=
де
,
,
- координати матеріальних точок, маси
яких
.
Для тіла з неперервним розподілом мас
координати центра мас можна знайти за
формулами:
|
|
(1.8.4) |
=
,
=
,
=
У симетричних однорідних тілах центр мас лежіть на осі симетрії. У деяких випадках центр мас суцільних тіл може знаходитись за його межами (кільця, шайби, гайки).
Отже, давайте встановимо закон руху центру мас. Для цього продиференціюємо обидві частини виразу (1.8.1) за часом:
|
|
(1.8.1) |
=
=
,де
=
- являє собою швидкість
руху центру мас.
З (1.8.5) випливає, що імпульс системи
матеріальних точок, або імпульс твердого
тіла визначається як:
|
|
(1.8.6) |
=
=
,Продиференціюємо тепер вираз (1.8.6) і згідно з другим законом Ньютона отримаємо закон руху центру мас:
|
|
(1.8.7) |
=
.Іншими словами:
центр мас твердого тіла або системи тіл рухається так, як рухалася б під дією всіх прикладених сил матеріальна точка, маса якої дорівнює масі тіла, або системи тіл.
Зверніть увагу на такі зауваження:
-
Сукупність зовнішніх сил
можна замінити рівнодійною тільки
тоді, коли лінії дії всіх сил перетинаються
в одній точці, або коли вони паралельні.
Тому в загальному випадку величину
можна називати результуючою зовнішніх
сил, що діють на тіло. Результуюча сила
визначає динаміку поступального руху
тіла. -
Ні результуюча сила, ні імпульс тіла не дають ніяких відомостей про обертання тіла під час його поступального руху. Якщо тверде тіло перебуває у спокої відносно ініціальної системи відліку, то при дії зовнішніх сил, результуюча яких дорівнює нулю, тіло рухатиметься так, що центр мас перебуває в спокої. Іншими словами, тіло обертатиметься навколо осі, яка проходить через центр мас.