|
Херсонський національний технічний університет Кафедра загальної та прикладної фізики |
ПОЛЕ ТЯЖІННЯ Лекція 1.7. |
|
|
|
|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7.
ПОЛЕ ТЯЖІННЯ-
Потенціальна енергія силового поля
Потенціальна енергія – це енергія взаємодіючих тіл, що не залежить від швидкості їхнього руху. Оскільки робота консервативних сил не залежить від форми шляху переходу системи з одного стану в іншій, то потенціальна енергія залежить тільки від координат матеріальних точок системи в заданому стані. Значення потенціальної енергії залежить від того, яке положення системи умовно взяти за початок відліку. Якщо взяти за нульове положення, то в положенні 2 система матиме потенціальну енергію:
|
|
(1.7.1) |
=
яка
дорівнює роботі консервативних сил при
переході системи із стану 2
в стан 1.При
зміні одного початку відліку іншим
потенціальна енергія системи змінюється
на сталу величину. Це означає, що
потенціальна енергія системи визначена
не
однозначно,
а з точністю до довільної сталої.
Довільність вибору адитивної сталої
не впливає на фізичні висновки, оскільки
перехід системи з одного стану в інший
визначається не абсолютним значенням
потенціальної енергії, а тільки її
різницями в цих станах. Різниці
потенціальних енергій не залежать від
вибору довільної сталої. Робота при
переході системи із стану 1
в стан 2,
яким відповідають значення потенціальних
енергій
+
і
+
(
-довільна
стала):
|
|
(1.7.2) |
=
-
тобто робота консервативних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи. Таким чином, взаємодію тіл можна описати або за допомогою сил, або за допомогою потенціальної енергії як функції координат матеріальних точок, що взаємодіють між собою. З цього випливає, що між діючими силами та потенціальною енергією системи тіл існує певний взаємозв’язок.
Розглянемо
матеріальну точку, що знаходиться в
силовому полі деяких нерухомих тіл.
Якщо сили консервативні, то можна ввести
потенціальну енергію
,
яку має точка в силовому полі. Величина
буде функцією радіуса –вектора
цієї матеріальної точки або її координат
,
,
-
=
.
Якщо матеріальна точка під дією сили
здійснила нескінченно мале переміщення,
то виконана робота цієї сили дорівнюватиме
зменшенню потенціальної енергії:
|
|
(1.7.3 |
=-
Співвідношення (1.7.3) в проекціях на координатні осі:
|
|
(1.7.4) |
+
+
=-
Звідки отримаємо:
|
|
(1.7.5) |
=-
,
=-
,
=-
Якщо
функція
відома, то визначення складових
,
,
зводиться до обчислення її частинних
похідних від координат. Оскільки:
|
|
(1.7.6) |
|
то
|
(1.7.7) |
=
+
+
=-
В
математиці вектор
називають градієнтом
функції
(похідна по координатах) і позначають
символом
або
(
- оператор
набла).
Тоді:
|
|
(1.7.7а) |
=-
=-
отже, сила дорівнює градієнту потенціальної енергії, який взято зі знаком мінус. Знак мінус вказує на те, що вектори сили і градієнта потенціальної енергії напрямлені у протилежні сторони. Можна узагальнити на довільну систему матеріальних точок, в якій діють тільки консервативні сили. Потенціальна енергія незамкненої системи тіл визначається не тільки взаємним розміщенням тіл системи, а й розміщенням їх відносно зовнішніх тіл, з якими вони взаємодіють. У цьому разі потенціальну енергії взаємодії між тілами, що входять в систему, називають внутрішньою потенціальною енергією системи.
Поле
сил,
яке характеризується тим, що напрям
сили, що діє на частинку в будь-якій
точці простору проходить через нерухомий
центр, а величина сили залежить тільки
від відстані до цього центру
=
(
)
– отримало назву центрального.
Якщо у всіх точках поля сили, що діють
на частинку, однакові за величиною і
напрямком (
=
),
поле називатимемо однорідним.
Поле, яке змінюється з часом, називається
нестаціонарним.
Поле, яке лишається сталим в часі,
називається стаціонарним.
Поле
консервативних сил є частковим випадком
потенціального
силового поля.
Поле сил називається потенціальним,
якщо його можна описати за допомогою
функції
,
градієнт якої визначає силу в кожній
точці поля:
|
|
(1.7.8) |
=
Функція
має назву потенціальної
функції
або просто – потенціалу.
У випадку, коли потенціал не залежить
явно від часу,
=
,
потенціальне поле є стаціонарним, а
його сили – консервативними. В такому
випадку:
|
|
(1.7.9) |
=-
де
- потенціальна енергія частинки. Для
нестаціонарного поля силового поля,
яке описується потенціалом
ототожнювати потенціальні і консервативні
сили не можна.