Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Донбасский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

.Pdf

Скачиваний:

1819

Добавлен:

06.02.2016

Размер:

3.35 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3231 32 > Следующая >>>

5.5Дифференциальные уравнения второго порядка,

допускающие понижение порядка

Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка.

Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной

(подстановки) данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений,

допускающих понижение порядка.

1) Уравнение вида

y f (x) ,

где f (x) – непрерывная на (a; b) функция.

Решение уравнения находится понижением порядка и интегрированием.

Пример 1. Найти общее решение уравнения y x2 sin x .

Решение. Путем интегрирования данного уравнения получаем:

		y	x3	cos x C ;
			3

	x3				x4
y						sin x C1 x C2 .
		cos x C dx
	3				12

2) Уравнение вида

F(x, y , y ) 0 ,

не содержащее искомую функцию у.

Путем подстановки y p ; и y dpdx сводится к уравнению первого порядка F(x, p, p ) 0 относительно функции p(x) .

302

Пример 2. Найти общее решение уравнения

x . (1)

Ведем подстановку y p , тогда

Перейдем к уравнению

p 0 .

(2)

Это уравнение линейное

относительно

р.

Пусть p u v , а

p u v v u . Подставив в (2)

u v v u

uv x ;

u v

x ,

u v

перейдем к системе

v 0

(3)

u v x

(4)

Решим отдельно (3) и (4).

(3): dvdx vx . Разделим переменные и проинтегрируем:

		dv			dx	;	ln \| v \| ln \| x \|;		v x .
						;	ln \| v \| ln \| x \|;		v x .
		v			x
(4): u v x ;	du		x x .				Разделим переменные и проинтег-
(4): u v x ;	dx		x x .				Разделим переменные и проинтег-
	dx
рируем:
				du dx ;				u x C1 .

Тогда

p uv x(x C1 ) x2 C1 x .

303

Возвращаясь к искомой функции у, имеем

y x2 C x ;

y (x

2 C1 x)dx

C1 x2

C2 .

3) Уравнение вида

F( y, y , y ) 0 ,

не содержащее аргумент х.

Путем подстановки

y p( y) y

или

приводится к уравнению

первого

порядка

y, p,

относительно функции р, зависящей от у.

Пример 3. Найти общее решение уравнения

y y ( y )2 0 .

Решение. Уравнение не содержит явный аргумент х, поэтому

сделаем подстановку
y p( y) ,			тогда	y p			dp
y p( y) ,			тогда	y p			dy
							dy
и данное уравнение примет вид
y p	dp	p2	0 или	y	dp	p 0 .
y p		p2	0 или	y	dy	p 0 .
	dy				dy

Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции p( y) .

Разделяя переменные, получим

304

ln p ln y ln C p

Но

, тогда

или

y dy C1dx .

Отсюда получим общее решение заданного уравнения:

y2 C1x C2 y 2(C1x C2 ) . 2

5.6 Линейные однородные уравнения с постоянными

коэффициентами

Определение 1. Дифференциальное уравнение второго порядка

называют линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами, если оно имеет вид

ay by cy 0 , где a,b, c const .	(1)
Решение уравнения (1)будем искать в виде	y ekx (2). Тогда

подставив (2) в (1) вместо у , уравнение (1) обращается в тождество

a(ekx ) b(ekx ) с ekx 0 ;	ekx (ak 2 bk c) 0 ,
после сокращения на ekx имеем	ak 2 bk c 0 . Функция	у ekx

будет решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда трехчлен

ak 2 bk c 0 обратится в нуль, т.е. только в том случае,	когда k
будет корнем квадратного уравнения ak 2 bk c 0 ,	которое

называется характеристическим уравнением для дифференциаль-

ного уравнения (1).

Для нахождения общего решения такого уравнения целесообразно действовать таким образом:

305

1) составить характеристическое уравнение путем замены y на

k 2 ,

y на k ,

y на 1, т.е. получить алгебраическое уравнение

ak 2 bk c 0 относительно k.

(2)

2) решить алгебраическое уравнение, используя формулу:

b2 4ac

(3)

1, 2

3) проанализировать возможные корни характеристического

уравнения:

а) действительные и различные, т.е. k1 k2 ;

б) действительные и равные, т.е. k1 k2 ;

в)

комплексные,

т.е.

k1 i ,

где

4ac b2

4) в зависимости от значений корней характеристического уравнения общее решение заданного дифференциального уравнения

(1) имеет вид:

в случае а):	y C ek1x	C		ek2 x .
	1	2
в случае б):	y ekx (C	C	2		x) .
	1		2
в случае в):	y e x (C cos x C					2	sin x) .
	1					2

Пример 1. Найти общие решения уравнений:

а) y 3y 2y 0 ;

б) y 4y 4y 0 ;

в) y 4y 5y 0 .

306

Решение. Для уравнения а) характеристическим уравнением

является k 2 3k 2 0 .
Найдем корни этого уравнения: k1 2;	k2 1 .
Корни характеристического уравнения действительны и различ-
ны, поэтому общее решение уравнения а) будет: y C e2 x					C	ex .
				1	2
Для уравнения б) характеристическим уравнением является
k 2 4k 4 0 (k 2 2)2 0 k k		2	2 .
	1	2
Корни характеристического уравнения действительны и равны,
поэтому общее решение уравнения б): y e 2 x (C C				x) .
	1		2
Для уравнения в) характеристическим уравнением является


k 2 4x 5 0 k	4 16 20	4 2i	2 i .

1,2	2	2

Корни этого уравнения комплексные		числа,	причем 2 ,

1, поэтому общим решением дифференциального уравнения в)

является: y e 2 x (C1 cos x C2 sin x) .

5.7 Пример использования дифференциальных уравнений в

экономических задачах

Пример 1. Экономисты установили, что скорость увеличения инвестированного капитала в любой момент времени t

пропорциональна величине капитала с коэффициентом пропорциональности равным согласованному проценту k

непрерывного возрастания капитала. Необходимо найти закон возрастания инвестированного капитала, учитывая величину начальной (t 0) инвестиции k0 .

307

Решение. Пусть k(t) – величина инвестированного капитала в

момент времени t (искомая функция).

Тогда	dk(t)	– скорость изменения инвестиции, r		k	. По
	dt		100

условию задачи имеем

dk(t)

dtk (t) t0

rk (t)

Необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.

Общим решением дифференциального уравнения является

функция			k(t) ert C eC ert . Учитывая начальное условие		t 0 ,
имеем	k	0	eC . Решением задачи Коши является функция	k(t) k		ert .
					0

5.8 Упражнения к главе 5

1. Найти общее решение или общий интеграл дифферен-

циальных уравнений с разделяющимися переменными:

1)	xydx (x 1)dy 0 ;		2)	( y2 1)dx xydy 0 ;
3)	(x 1)dy ( y 2)dx 0 ;		4)	(1 y2 )dx (1 x2 )dy 0 ;

5)		1 y2 dx 1 x2 dy 0;	6)	(1 y)dx (1 x)dy 0 ;
7)	cos2 y dx ctg x dy 0 .
2. Найти общее решение линейных дифференциальных
уравнений первого порядка:
1)	y 2y 4x ;		2)	y ctgx y sin x ;

308

xy 2 y 2x4 ;

4) (x2 1) y 4xy 3 ;

y y ex ;

6) xy y x ;

xy 3y x 3 .

3. Найти общее решение однородных дифференциальных

уравнений первого порядка:

x y

2 y

;

2) y

;

3) y x2

x ;

2yx y2

;

5) y

tg x ;

6) y x2

x ;

sin

4. Найти общее решение уравнений Бернулли:

x2 y2 y xy3 1 ;

y xy2 ;

xy y2 ln x y 0 ;

y y2

0 ;

y 2x y .

1 x2

5. Найти решение задачи Коши:

y 3y 3 ,

y(2) 0 ;

xy y ex ,

y(1) 1 ;

y ctgx y 2,

y(0) 1;

sin 2

, y(1)

;

y 5

x y

y(1) 1.

6. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго

порядка:

309

1)	y tgx y 1 ;	2)	2 y y ( y )2 0 ;
3)	x( y 1) y 0 ;	4)	xy y x2ex ;
5)	y 2 y 1 ( y )2 0 .
7. Найти общее решение уравнений:
1)	y y 0 ;	2)	y 4y 3y 0 ;
3)	y y 2y 0 ;	4)	y 4y 0 ;
5)	y y 3y 0 ;	6)	y y y 0 .

8. Решить задачу экономического содержания:

Скорость возрастания численности населения пропорциональна численности населения. Найти закон роста численности населения страны, в которой в 2000 году было 50 млн. населения. Сколько населения будет в 2010 году?

5.9 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 5

1. Найти общее решение однородного дифференциального

уравнения 1-го порядка

					y
1)	xy y cos ln					.
1)	xy y cos ln					.
					x
3)	x2 y xy y2e					x	y .
3)	x2 y xy y2e						y .
	xy y
5)	xy y		y2 x2 .
					y
7)	xy y 1	ln				.
7)	xy y 1	ln				.
					x
			y
9)	xy y ln			.
9)	xy y ln			.
			x

xy y

y 2

xy y x e y / x 1 .

y2 x2 y .

4x2 y 2

4 y 2

x .

y2 4xy

10)

2(x2 y2 ) .

310

11) xy y xe x .

13) xy y x2 y2 .

15) x2 y 2xy y2 .


17)	xy 2( y xy ) .
								y
19)	xy y x cos								.
19)	xy y x cos								.
							x
	xy	y		2x2
21)				y .
21)				y .
					x2
23)	xy	2x y .
23)	xy	2x y .
25)	y		3y 4x		.
25)	y				.
			2 y 3x
	y		2 y2
27)						.
27)			x2 3xy			.
	y		y3
29)							.
29)			2xy2 x3				.

xy y2

12)

x2 2xy .

2xy

14)

3x2 y2

16)

2 xy

3x2 y 2

18)

(x y)2 .

2 y2

20)

x2 3xy .

22)

xy x2 y2

24)

xy y2

2x2 xy

26)

x2 y 2

28)

x 2 y

2x y

30)y x y .

2 Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и уравнения Бернулли


1)	y	1		y y2 .	2)	y	1	y	x		.
		x					x		y2
	y	4				y	1	y	1	.
3)			y 2x y .		4)

		x					x		y
5)	y	2	y x4ex y3 .		6)	y y tg x y4 cos x .

		x

311

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3031 / 3231 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
28.08.2019169.6 Кб5Статистика. Конспект. Общий.docx
#
06.02.2016183.81 Кб26Стратегический менеджмент.doc
#
06.02.2016893.44 Кб40Стратегическое управление учебник.doc
#
06.02.2016878.08 Кб7Стройников лабы.doc
#
06.02.2016139.78 Кб4Суд Украины.doc
#
06.02.20163.35 Mб1819Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики.Pdf
#
06.02.20161.35 Mб10СУП.doc
#
06.02.2016326.14 Кб7ТГП Методические указания по курсу.doc
#
06.02.20162 Mб29Текст пособия Введение в глобалистику.doc
#
06.02.2016114.69 Кб6Текст Шекспириады (полная версия).doc
#
07.11.2018177.15 Кб12Тема 1 ІД нов..doc