Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики
.Pdf3.arcsin(x) ~ (x).
4.e ( x) 1 ~ (x).
6. a ( x) 1 ~ (x) ln a.
3. arctg(x) ~ (x).
5. ln[1 (x)] ~ (x).
7. 1 cos x x2 .
2
Раскрытие неопределенностей
Вычисление пределов сводится к подстановке в данное выражение предельного значения аргумента. Если при этом
получаем неопределенности вида 0 , , 00 , 0 , 1 , 00 , , то
нахождение пределов в этих случаях называется раскрытием неопределенности.
Для раскрытия неопределенности, прежде чем перейти к пределу, необходимо преобразовать данное выражение.
Неопределенность вида
Чтобы раскрыть неопределенность вида , надо числитель
и знаменатель дроби поделить почленно на высшую степень
переменной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти предел: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x4 |
6x2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||
|
2x4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|||||||||
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 . |
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x5 4x |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
4 8 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x4 |
x5 |
|
|
|
|
|
112
|
|
|
x6 2 |
|
|
|
|
в) |
lim |
|
|
|
|
lim |
|
|
|
||||||
|
x x5 |
4х |
|
|
x |
||
г) |
lim |
|
|
5x3 4x |
lim |
||
|
|
10x2 100 |
|||||
|
x x3 |
x |
Неопределенность вида
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x6 |
|
|
. |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
x |
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
5 |
|
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
5. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
10 |
|
|
100 |
|
|
||||||||||
|
|
x |
x3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если числитель и знаменатель дроби полином, который
превращается в нуль при x x0 , |
для раскрытия неопределенности |
|||||||||||||||||||
числитель и знаменатель надо поделить на (x x0 ) . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Пример 2. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
x2 |
2x 1 |
|
0 |
|
|
(x 1)2 |
|
|
x 1 |
|
0 |
|
||||||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
0 . |
|
|
x2 1 |
|
|
(x 1)(x |
|
x 1 |
|
|||||||||||||
|
x 1 |
|
|
0 |
x 1 |
1) |
x 1 |
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
x3 8 |
|
|
0 |
|
|
(x 2)(x2 |
2x 4) |
|
|
|
|
|
|||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
5x 6 |
|
|
|
|
(x 2)(x 3) |
|
|
|
|
||||||||||
|
x 2 |
|
|
0 |
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
x2 |
2x 4 |
|
4 4 4 |
12. |
|||||
|
x 3 |
|
2 |
3 |
||||||
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||
Пример 3. Вычислить предел: |
|
|
|
|
||||||
|
|
lim |
|
x2 |
4 |
|
; |
|
||
|
|
|
|
5x |
|
|
||||
|
|
x 2 x2 |
6 |
|
|
Решение. Непосредственная подстановка числа x 2 под знак
предела приводит к неопределенности 0/0. Преобразуем выражение,
разложив числитель и знаменатель на множители и сократив на
(x 2) :
113
|
|
|
lim |
|
|
x2 4 |
|
|
|
|
lim |
(x 2)(x 2) |
|
lim |
|
x 2 |
|
4. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x2 |
5x |
6 |
|
(x 2)(x 3) |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Неопределенность вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Неопределенность вида преобразованиями приводится к |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
виду |
|
|
и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Пример 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x x |
|
|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
а) |
lim |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x4 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)(x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x 1 x 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x 1 x 1 |
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
x2 x 1 x2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x 1)(x2 |
x 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенность вида 1
Неопределенность вида 1 раскрывается с помощью второго
замечательного предела.
Пример 5.
x2 |
2x 4 |
x |
|
|
x2 2x 4 |
x |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) lim |
|
|
|
|
1 |
lim 1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
3x 2 |
x |
2 |
3x 2 |
||||||
x x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x2 2x 4 x2 3x 2 |
x |
|
||
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
x |
|
|
x |
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
114
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
x2 3x 2 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( x 2)x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
x |
|
x2 3x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x2 |
3x 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
lim |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
1. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x2 3x 2 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
x 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
1 lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 x 1 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
x 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e 2 . |
||||||||||||||||||||||||
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
x 3 |
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
в) |
lim |
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
lim |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ex x 2 |
e |
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Примеры вычисления пределов с помощью эквивалентных |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
бесконечно малых: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 cos x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
а) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|||||||||||||||||||||
1 cos3x |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
0 |
|
|
x 0 |
|
(3x) |
2 |
|
|
|
|
|
9 x 0 |
|
|
|
9 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
esin3x |
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ln(1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
4x) |
0 |
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
4x |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
115
3.1.5 Непрерывность функции. Исследование функции на
непрерывность
Определение 1. Функция y f (x) называется непрерывной в точке x0 (a; b) , если существует предел функции в этой точке и он
равен значению функции в точке x0 :
lim f (x) f (x0 ) |
(1) |
x x0
Равенство (1) означает выполнение трех условий:
1)функция f (x) определена в точке x0 и ее окрестности;
2)функция f (x) имеет предел при х x0 ;
3)предел функции в точке x0 равен значению функции в этой
точке, т.е.
lim f (x) f (x0 ).
x x0
На практике при исследовании функций на непрерывность пользуются признаками, которые непосредственно вытекают из соотношение (1), а именно:
для того, чтобы функция f (x) была непрерывной в точке x0 ,
необходимо:
1)f (x) была определена в окрестности точки x0 ;
2)существовала левосторонний предел функции в точке, т.е.
существовало число
lim f (x) ;
x x0 0
3) существовал правосторонний предел функции - число
lim f (x) ;
x x0 0
116
4) левосторонний и правосторонний пределы были бы равны
|
lim f (x) = |
lim |
f (x) ; |
|
|
x x0 0 |
x x0 0 |
|
|
5) левосторонний и правосторонний пределы в точке x0 равны |
||||
значению функции в этой точке, т.е. |
|
|
||
lim f (x) = |
lim |
f (x) = f (x0 ) |
||
x x0 |
0 |
x x0 0 |
|
|
Определение 2. |
Если хотя |
бы |
одно из этих условий не |
выполняется в точке, которая является внутренней точкой промежутка, в котором определена функция, то функция в этой точке называется разрывной.
Определение 3. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции.
Определение 4. Точка x0 является точкой разрыва первого рода функции f (x) , если в этой точке существуют конечные
пределы функции слева и справа (односторонние), т.е. lim f (x) А1
x x0 0
и lim А2 . При этом:
x x0 0
а) если А1 А2 , то точка х0 называется точкой устранимого
разрыва;
б) если А1 А2 , то точка х0 называется точкой конечного
разрыва.
Определение 5. Величину | A1 A2 | называют скачком
функции в точке разрыва первого рода.
Определение 6. Точка x0 является точкой разрыва второго рода функции y f (x) , если по крайней мере один из
односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
117
|
Пример 1. Исследовать точки разрыва функции y |
x 4 |
. |
|||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| x 4 | |
|
|
Решение. |
В точке |
|
x 4 функция не определена. Найдем при |
||||||||||||||
x 4 |
предел |
|
данной |
|
|
функции |
|
|
|
|
||||||||
слева и справа: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у |
|
|
|
|||
lim |
x 4 |
lim |
x 4 |
|
|
1, |
|
|
|
|
||||||||
|
(x 4) |
|
|
|
|
|||||||||||||
x 4 0 |
| x 4 | |
x 4 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
x 4 |
lim |
|
x 4 |
1. |
|
|
|
|
|||||||||
| x 4 | |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||||
x 4 0 |
|
x 4 0 |
x 4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
Поскольку односторонние |
0 |
4 |
х |
||||||||||||||
пределы конечны, но |
|
|
|
|
|
|
-1 |
|
|
|
||||||||
|
lim f (x) lim |
f (x) , |
|
|
|
|
||||||||||||
|
x 4 0 |
|
x 4 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
то x 4 является точкой разрыва первого рода. |
|
|
|
|||||||||||||||
|
Скачок в данном случае в точке x 4 равняется 2. |
|
|
|||||||||||||||
|
Пример 2. Определить характер разрыва функции |
|
|
|||||||||||||||
|
|
f (x) |
|
3 |
|
|
. |
|
|
|
у |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
(x 1) |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Решение. |
|
Функция |
в |
|
|
|
|
||||||||||
точке x 1 не определена. |
|
0 |
|
|
|
|||||||||||||
|
При x 1 имеем |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
х |
||||||||
|
|
|
|
|
|
-3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) 0 , при x 1 |
f (x) 0 . |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Итак, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) , lim |
f (x) , |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
поэтому точка x 1 является точкой разрыва второго рода.
118
3.1.6 Упражнения к разделу 3.1
Найти область определения функции y f (x) :
1). y x2 7x 6 lg( x 2). ( 2;1] [6; )
2). y x2 5x 6 (1 x) lg( x). ( ; 3] [ 2; 0)
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
3). y |
16 x |
3 2x 3 . |
|||||||
|
|
|
; 4 |
||||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
4). y 4 x2 1x . [ 2; 0) (0; 2)
Исследовать на четность или нечетность функции:
5). |
f (x) x4 |
|
x2 |
. |
|
[четная] |
||||
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
6). |
f (x) x4 |
2x2 . |
[четная] |
|||||||
7). |
f (x) |
x3 |
1 |
. |
|
[ни четная, ни не четная] |
||||
x2 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
f (x) x2 |
|
|
|
||||||
8). |
3 x 2sin x . [нечетная] |
Найти период функций:
9).
10).
11).
y 2ctg |
x |
|
1. |
|
|||
|
|
|
|||||
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
7x |
|
||
y 2sin |
|
|
|
||||
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
y tg |
x |
3. |
|
||||
3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
3
|
6 |
|
||
. |
|
|
|
|
|
||||
2 |
7 |
|||
|
|
3
Построить графики функций:
119
|
y (x 2)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12). |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
13). |
y |
|
|
x 3 2 . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
14). |
y |
|
x 2 1 . |
|
|
|
|
|
|
15). |
y sin 3x 1. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
16). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
1 . |
|
|
17). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y 2cos |
|
|
|
|
|
y 3tg 2x |
|
|
|
1. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|||||
Найти пределы функций: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
18). |
lim(4x2 6x 3) . |
|
|
7 |
|
|
19). |
lim |
3x2 4x 7 |
. |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
2x2 5x 6 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
20). |
lim(2x2 7x 6) . |
|
|
3 |
|
|
21). |
lim |
x2 6x 8 |
. |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
22). |
lim |
|
2x4 5x3 7x2 |
8x 9 |
. |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
3x5 6x3 4x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
x |
2x 11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
23). |
lim |
|
x7 8x6 5x4 3x2 |
12 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
7x5 6x3 4x 17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
x 10x6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
24). |
lim |
|
|
|
3x2 x 2 |
. |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
5x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 4x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
25). |
lim |
|
6x2 5x 4 |
. |
|
|
2 |
|
|
26). |
lim |
7x2 6x 3 |
. |
|
0 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x 3x2 |
7x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 9x3 |
8x2 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
27). |
lim |
x2 4x 4 |
. |
|
|
0 |
|
|
28). |
lim |
x2 7x 6 |
. |
|
5 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
12 |
||||||||||||||||||
Построить график функции, определить характер точек |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
разрыва: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4,если |
|
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
29). |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
tg x, если 0 x / 4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1, |
|
если |
|
|
x / 4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[в точке |
|
x 0 |
|
разрыв |
1 |
рода, |
в |
точке |
x / 4 |
|
функция |
||||||||||||||||||||||||||||||
непрерывна] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
120
|
|
cos x, если |
x 0, |
|
|
||
30). |
y |
x |
, |
если 0 |
x 3, |
|
|
e |
|
|
|||||
|
|
1, |
|
если |
x 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[в точке |
x 0 |
функция непрерывна, |
в точке |
x 3 разрыв 1 |
|||
рода] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x, если |
x 0, |
|
|
||
31). |
y |
|
|
если 0 |
x 3, |
|
|
1, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x 3. |
|
|
|
|
x 2, если |
|
|
|||
[в точке |
x 0 |
функция непрерывна, |
в точке |
x 3 разрыв 1 |
|||
рода] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x,если |
x 0, |
|
|
||
32). |
y |
|
|
|
|
|
|
tg x, если 0 x / 2, |
|
|
|||||
|
|
|
|
если |
x / 2. |
|
|
|
|
2, |
|
|
|
[в точке x 0 функция непрерывна, в точке |
x |
|
разрыв 2 |
2 |
|||
рода] |
|
|
|
121