Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики
.Pdf3.1.7 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к разделу 3.1
1. Вычислить (без правила Лопиталя) пределы:
|
1). |
lim |
x10 x2 1 |
; |
|
lim |
x2 3x 2 |
; |
|
|
5x10 x3 2 |
|
x2 1 |
||||||
|
|
x |
|
|
x 1 |
|
|||
|
e2x 1 |
|
x 1 |
2 x |
|
|
|
||
lim |
|
; |
lim |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
sin 3x |
|
x x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
2). |
lim |
5x8 3x3 2x |
; |
lim |
x2 4 |
; |
||
|
4x8 x2 3 |
x2 3x 2 |
|||||||
|
|
x |
|
x 2 |
|
lim
x
lim
x 0
lim
x 0
lim
x 0
x10 x2 1 ; 5x10 x3 2
3). lim
x
arctg4x ; 1 e2 x
4). lim
x
ln 1 3x ; arctg2x
5). lim
x
esin2x 1 ;
arcsin 3x
x2 1 |
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x9 x8 10 |
; |
|
|
lim |
|
|
|
x3 1 |
; |
|
||||||||
5x9 x 2 |
|
|
|
x2 |
4x 3 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|||||||||||
x 1 3x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x10 1 |
|
; |
|
|
|
|
lim |
|
x2 |
4x 3 |
; |
|
||||||
3x8 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
2x 1 2 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
2x7 3x2 4 |
; lim |
|
x2 5x 6 |
; |
||||||||||||||
5x8 x3 1 |
|
|
9 x2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
2 3x x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
17 x 4 |
; |
|
|
x 1 |
|||
x 1 |
|
lim |
3 |
x 7 |
|
; |
x 2 |
|
|||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
4 x 4 |
; |
|
|
x 12 |
|||
x 12 |
|
lim |
|
|
x 4 |
; |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x 4 5 |
|
|
x 21 |
|
lim |
|
2 x |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
x 2 |
38 x 6 |
|
122
6). lim
x
sin 3x lim ; x 0 ln 1 2x
7). lim
x
lim arctg5x ; x 0 1 cos x
8). lim
x
1 cos3x lim ; x 0 ln 1 4x
9). lim
x
lim esin3x 1; x 0 arctg2x
10). lim
x
4x5 3x3 2 ; 5x5 x 4
1 3x 7 x lim x 3x 1
10x6 x5 1;
2x8 x3 3
3x 1 5 x lim x 3x 2
7x9 2x2 4 ; 14x9 x3 1
x2 |
1 |
x2 |
|||
lim |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
1 |
|
|||
x x |
|
|
x12 x9 1 ; x11 2x 3
x 2 3x lim . x x 1
3x8 2x2 1;
4x8 3x3
lim |
x2 16 |
; |
|
|
x2 |
6x 8 |
|
||
x 4 |
|
|
||
. |
|
|
|
|
lim |
x2 |
7x 10 |
; |
|
|
8 x3 |
|
||
x 2 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
lim |
x3 125 |
; |
|
|
x2 |
6x 5 |
|
||
x 5 |
|
|
||
. |
|
|
|
|
lim |
x2 |
3x 2 |
; |
|
|
x3 8 |
|
||
x 2 |
|
|
|
lim |
|
x2 9 |
; |
|
8x 15 |
||
x 3 x2 |
|
|
ln 1 2x |
|
|
2x 3 5 x |
||
lim |
|
|
; |
lim |
|
. |
|
|
|
||||
x 0 |
arcsin 3x |
|
x |
2x 4 |
11). lim
x
lim 1 etg3x ; x 0 sin 2x
5x7 3x2 4 ; 4x7 x 1
x 2 4 x lim . x x 2
lim |
x2 1 |
; |
|
x2 6x 5 |
|||
x 1 |
|
lim |
5 |
|
30 x |
|
; |
|
x 5 |
|
|||
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
x 1 1 |
|
||
lim |
|
|
|
; |
|
x 2 |
|||
x 2 |
|
lim |
2 3 |
x 2 |
|
; |
x 10 |
|
|||
x 10 |
|
|
lim |
|
14 x |
; |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
x 5 3 |
|||||
x 14 |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
17 x 4 |
; |
|
|
x 1 |
|||
x 1 |
|
lim |
3 3 |
x 25 |
; |
|
x 2 |
||||
x 2 |
|
123
12). lim
x
arctg5x lim ; x 0 ln 1 4x
13). lim
x
4x10 3x2 1
6x10 x 3 ;
1 2x 3x lim x 3 2x
2x5 x2 3 ;
3x6 x 1
lim |
x2 |
6x 5 |
; |
|
|
x3 1 |
|||
x 1 |
|
|
||
. |
|
|
|
|
lim |
|
x3 8 |
; |
|
x2 |
4x 4 |
|||
x 2 |
|
|
|
arcsin 2x |
|
|
|
2x2 1 |
3x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
3 x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 |
e |
1 |
|
|
|
2x |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
14). |
|
lim |
5x6 x 5 |
; |
|
|
|
|
lim |
x2 |
2x 1 |
; |
|||||||
|
|
|
|
|
4x4 2x 1 |
|
|
|
|
|
x3 1 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||
|
|
ln(1 tg x) |
|
|
1 x2 |
|
2 x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
; |
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
x 0 |
arcsin 3x |
|
|
2 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
15). |
|
lim |
3x9 8x3 2 |
; |
|
|
lim |
|
x2 36 |
|
; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
9x9 4x 1 |
|
|
|
|
x 6 |
x2 |
7x 6 |
|||||||
|
|
ln 1 5x |
|
|
|
2x2 1 |
4 x2 |
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
; |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
x 0 |
e |
tg 2 x |
1 |
|
|
|
2x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
16).
lim sin 5x ;
x 0 e3x 1
17).
lim
x
lim
x
5x7 x2 2 ;
4x7 x 1
x 1 3x lim x x 2
3x5 2x2 5 ; 4x5 x 1
lim |
x2 |
3x 2 |
; |
|
x2 4 |
||
x 2 |
|
|
.
lim |
x2 |
3x 2 |
; |
|
x3 4 |
||
x 2 |
|
|
|
arcsin 3x |
|
x2 |
2 |
2 x |
||
lim |
|
; |
|
|
|
|
|
ln(1 2x) |
lim |
x |
2 |
1 |
. |
||
x 0 |
|
x |
|
|
lim |
2 |
x 5 |
|
; |
x 9 |
|
|||
x 9 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x 2 5 |
; |
|
|
x 23 |
|||
x 23 |
|
lim 3 x 2 ; x 11 11 x
lim |
2 3 |
|
1 x |
|
; |
x |
9 |
|
|||
x 9 |
|
|
lim |
|
x 1 |
; |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
17 x 4 |
|||||
x 1 |
|
lim |
x 2 |
|
; |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
3 |
x 7 |
||||
x 2 |
|
|
124
|
18). |
|
lim |
10x4 x3 1 |
; |
lim |
x2 |
4x 3 |
; |
||
|
|
4x5 x 2 |
|
x3 1 |
|||||||
|
|
|
x |
|
x 1 |
|
|
||||
|
1 e5x |
|
2x 1 |
2 x |
|
|
|
||||
lim |
|
; |
|
lim |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x 0 |
arctg2x |
|
x 2x 1 |
|
|
|
|
||||
|
19). |
|
lim |
x11 2x |
; |
|
lim |
|
x3 1 |
; |
|
|
|
3x11 5 |
|
x2 |
4x 3 |
||||||
|
|
|
x |
|
|
x 1 |
|
||||
|
arctg5x |
|
3x 1 |
3x |
|
|
|
||||
lim |
|
|
; |
lim |
|
|
|
. |
|
|
|
x 0 |
ln(1 2x) |
|
x 3x 2 |
|
|
|
|
20). lim
x
lim arcsin 2x ;
x 0 1 esin3 x
21). lim
x
lim ln(1 3x) ; x 0 sin 2x
22). lim
x
lim arctg3x ; x 0 1 cos 2x
23). lim
x
lim ln(1 3x) ; x 0 1 cos 4x
3x4 x 3 |
; |
|
|
|
|
lim |
x2 9 |
|
; |
|
||||||
4x6 3x |
|
|
|
|
|
x2 5x |
6 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
||||||
1 2x |
x |
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 3 |
2x |
|
|
|
|
|||||||||||
6x5 x 1 |
|
; |
|
|
lim |
x2 6x 8 |
; |
|
||||||||
3x4 x2 1 |
|
|
x2 16 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
6 x |
|
|
|
|
||||||
lim 1 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||||||
5x5 1 |
|
|
|
; |
|
|
|
lim |
x3 8 |
|
|
; |
||||
6x7 x |
2 |
|
|
|
|
x2 7x 10 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||||||||
1 3x |
4 x |
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 |
3x |
|
|
|
|
|||||||||||
7x8 x2 2 |
; |
|
lim |
x2 6x 5 |
; |
|
||||||||||
8x8 2x 1 |
|
125 x3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
x 5 |
|
|
|
||||||||||
1 x2 |
2 x |
|
|
|
|
|||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
x x |
|
|
|
|
|
|
lim |
|
x 12 |
|
; |
||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
|
4 x |
|||||
x 12 4 |
|
|
lim |
|
x 21 |
|
5 |
; |
|
4 x |
|
|||
x 4 |
|
|
lim |
6 |
|
38 x |
|
; |
|
x 2 |
|
|||
x 2 |
|
|
lim |
|
|
5 x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x 5 5 |
|
|
30 x |
|
|
lim |
|
x 2 |
; |
|||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||
3 |
x 1 |
|||||
x 2 1 |
|
lim |
|
10 x |
; |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
3 |
2 x 2 |
||||
x 10 |
|
125
24).
lim arctg4x ;
x 0 1 esin3x
25).
lim arcsin 5x x 0 ln(1 4x)
|
26). |
|
|
lim |
sin 3x |
; |
|
1 etg 2 x |
|||
x 0 |
|
||
|
27). |
|
lim
x
lim
x
;
lim
x
lim
x
10x7 2x 3 |
|
; |
|
lim |
|
|
8 x3 |
; |
|
||||||
5x9 7 |
|
|
|
|
|
x2 3x 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
||||||||
2 x |
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14x10 3x 1 |
; |
|
lim |
|
x2 8x 15 |
; |
|||||||||
5x7 x 2 |
|
|
|
|
25 x2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
x 5 |
|
|
|
||||||||
3 2x 3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 4 |
2x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
3x4 x2 1 |
; |
|
|
|
lim |
|
x2 6x 5 |
; |
|
||||||
6x4 2x |
3 |
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||||
x 2 |
4 x |
|
|
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
x x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
5x6 x 2 |
; |
|
|
|
|
lim |
|
|
1 x3 |
; |
|
||||
7x10 1 |
|
|
|
|
|
|
x2 6x 5 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
ln(1 5x) |
|
|
2x 1 |
5 x |
|
|
|
|
||||||||
lim |
|
|
|
; |
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 0 |
arcsin 4x |
|
|
x 2x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
28). |
|
|
|
lim |
4x5 x2 1 |
; |
|
|
lim |
x2 |
4x 4 |
; |
||||
|
|
|
|
|
|
5x5 x |
2 |
|
|
|
x3 8 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|||||
|
|
|
e2 x 1 |
|
|
|
|
x2 3 |
4 x2 |
|
|
|
|
||||||
lim |
|
|
; |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 0 arctg5x |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
29). |
|
|
|
lim |
7x10 2x 2 |
; |
|
lim |
|
x3 1 |
; |
|||||
|
|
|
|
|
|
8x6 x 1 |
|
|
x2 |
2x 1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x 1 |
|
|
||||||
|
|
|
arcsin 4x |
|
|
|
1 2x2 x |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
ln(1 tgx) |
; |
lim |
3 |
2x |
2 . |
|
|
|
|
|||||||||
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
lim 3 x 5 ; x 14 14 x
lim |
x 7 |
|
; |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
2 3 |
1 x |
||||
x 7 |
|
|
lim |
2 x |
; |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
3 3 |
x 25 |
||||
x 2 |
|
lim |
9 x |
|
; |
||
|
|
|
|||
|
|
|
|||
2 |
x 5 |
||||
x 9 |
|
|
lim |
|
23 x |
; |
|
|
|
|
||
|
|
|
||
x 23 |
x 2 5 |
|
lim |
|
x 11 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
x 11 3 |
|
x |
2 |
|
|
126
|
30). |
lim |
5x9 3x3 1 |
; |
|
lim |
x2 7x 6 |
; |
lim |
|
9 x |
|
; |
||||
|
4x8 x 2 |
|
|
36 x2 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
x |
|
|
|
x 6 |
|
x 9 2 |
3 |
1 x |
|
|
|||||
|
1 etg3x |
|
|
3x2 1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
lim |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln(1 4x) |
lim |
3x |
2 |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Исследовать на непрерывность функцию и
классифицировать точки разрыва:
x 1, |
если : |
|
x |
1; |
|||||||
|
2 |
, |
|
если : |
1 |
x |
2; |
|
|
||
1). y x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
если : |
|
x |
2. |
|
|
||
4, |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x, |
если : |
|
x |
0; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3). y sin x, |
если : |
0 |
x |
|
|
; |
|||||
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
1, |
|
если : |
|
x |
|
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
cos x, |
если : |
|
x |
0; |
|
|
|||||
|
x |
, |
|
если : |
0 |
x |
3; |
|
|
||
5). y e |
|
|
|
||||||||
1, |
|
|
если : |
|
x |
3. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
если : |
|
x 2; |
|
|
||||
|
x |
2 |
, если : |
2 x 1; |
|
|
|||||
7). y 3 |
|
|
|
||||||||
|
1, |
если : |
|
x 2. |
|
|
|||||
x |
|
|
|
||||||||
2, |
|
|
если : |
|
x 1; |
|
|
||||
|
2 |
2, если : |
1 x 2; |
|
|
||||||
9). y x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
если : |
|
x 2. |
|
|
|||
x, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
4, |
если : |
|
|
x |
0; |
|||||||||
2). |
|
|
|
|
|
если : |
0 |
x |
|
|
|
; |
||||
y tg x, |
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1, |
|
|
|
|
если : |
|
|
x |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x, |
|
|
|
|
если : |
|
|
x |
0; |
|
|||||
4). |
|
|
|
|
|
если : |
0 |
x |
|
|
; |
|||||
y ctg x, |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
3, |
|
|
|
|
если : |
|
|
x |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x, |
|
|
|
если : |
|
|
x |
0; |
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6). |
y |
|
|
, |
|
|
если : |
0 |
x |
1; |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
если : |
|
|
x |
1. |
|
|
|
||||
|
1, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x2 , |
|
если : |
|
|
x |
0; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2; |
|
|
|||||
8). |
y x, |
если : |
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
если : |
|
|
x |
2. |
|
|
|||||
|
1, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2, |
|
|
если : |
|
x 0; |
|
|||||||||
|
|
|
2 |
, |
если : 0 x 1; |
|
||||||||||
10). y x |
|
|
||||||||||||||
|
(x 2)2 , если : |
|
x 1. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
127
cos x, если : |
x 0; |
|
|
если : 0 |
x 3; |
11). y 1, |
||
|
2, если : |
x 3. |
x |
1, |
если : |
|
x ; |
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
если : |
x |
; |
||
12). y sin x, |
2 |
2 |
||||
|
|
|
|
|
||
|
x, если : |
|
x |
. |
||
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
x 2, если : |
x 2; |
2x, если : |
x 0; |
|
|||||||||||||
|
|
2 |
, |
если : |
2 x 0; |
|
|
|
|
|
если : 0 x 3; |
|
|||||
13). y x |
|
14). y 2, |
|
|
|
|
|||||||||||
sin x, |
если : |
x 0. |
5 x, если : |
x 3. |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x, если : |
x 0; |
|
x 3, |
если : |
x 1; |
|||||||||||
|
|
|
|
если : 0 x |
|
; |
|
2 |
|
1, если : 1 |
x 1; |
||||||
15). y ctg x, |
2 |
16). y x |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x, |
если : |
x 1. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|||||||||||
|
|
|
, если : |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x, |
|
|
если : |
x 0; |
|
2x, |
если : |
x 0; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1, если : 0 |
x 1; |
||||
17). y 2x 1, если : 0 x 2; |
|
18). y 2x |
|
||||||||||||||
7 x2 , если : |
x 2. |
|
1, |
|
|
|
если : |
x 1. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, если : |
x 2; |
2, |
|
если : |
x 0; |
||||||||||
4 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
если : |
2 x 0; |
|
3 |
, |
|
если : 0 x 2; |
|||||||
19). y x, |
|
|
20). y x |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
если : |
x 0. |
10 x, если : |
x 2. |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1, если : |
x 0; |
|
|
sin x, если : |
x 0; |
|
|||||||||||
|
|
2 |
, если : 0 x 2; |
|
|
|
|
|
|
|
если : 0 x |
|
; |
||||
21). y x |
|
|
|
22). y tg x, |
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
если : |
x 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
если : |
x . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
128
23).
25).
27).
29).
|
|
если : |
|
|
x |
|
; |
|||||
3, |
|
|
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
если : |
x ; |
|
||||||||
y sin x, |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|||||
x , если : |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, если : |
|
|
x |
|
; |
|
|
||||
x |
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x ; |
|
|
|
||||
y ctg x, если : |
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x . |
|
|
|
|||
x, |
если : |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x, |
|
|
если : |
x 1; |
|
|
||||||
|
|
|
2 |
, если :1 |
x 3; |
|
||||||
y (x 2) |
|
|
||||||||||
|
1, |
|
|
если : |
x 3. |
|
||||||
x |
|
|
|
|||||||||
|
3, |
|
если : |
|
x 1; |
|
||||||
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
если : 1 x 2; |
|
|
|||||||
y 2, |
|
|
|
|||||||||
1 |
2, если : |
|
x 2. |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2, |
|
|
если : |
x 2; |
|
|
2 |
4, |
|
если : 2 |
x 2; |
24). y x |
|
|
|||
(x 2) |
2 |
, если : |
x 2. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
4, если : |
x 2; |
||||
|
x |
||||||
26). |
|
|
|
|
если : 2 x 0; |
||
y x, |
|
||||||
|
1 |
, |
|
|
если : |
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
cos x, если : |
x 0; |
|||||
|
|
|
2 |
, |
если : 0 x 2; |
||
28). y x |
|
||||||
|
|
6, если : |
x 2. |
||||
|
x |
||||||
|
x2 , |
|
|
если : |
x 0; |
||
|
|
1, если : 0 |
x 1; |
||||
30). |
y x |
||||||
|
ln x, |
|
если : |
x 1. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
129
3.2 Дифференциальное исчисление функции одной
переменной |
|
|
|
|
|
|
|
|
3.2.1 Производная функции в точке |
|
|
|
|||||
Определение 1. Производной функции y f (x) |
в точке x0 |
|||||||
называется |
предел |
|
отношения |
приращения |
функции |
|||
y f (x x) f (x) |
к |
приращению |
аргумента |
x , когда |
||||
приращение аргумента стремится к нулю, т.е.: |
|
|||||||
|
f (x) lim |
f x0 x f x0 |
. |
|
||||
|
|
|
||||||
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
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Определение 2. |
Функция y f (x) , |
имеющая производную в |
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каждой точке интервала |
(a; b) , называется дифференцированной в |
этом интервале.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в ней.
Пусть функции u u(x) и υ υ(x) – две дифференцируемые в
некотором интервале (a; b) функции.
Теорема 2. Производная суммы (разности) двух функций равна сумме (разности) производных этих функций: (u υ)' u' υ' .
Теорема 3. Производная произведения двух функций равна произведению производной первого сомножителя на второй сомножитель, плюс произведение первого сомножителя на производную второго:
(uυ)' u' υ uυ' . |
(1) |
Теорема 4. Производная частного двух функций u(x) , если
υ(x)
130
υ(x) 0 равна дроби, числитель которой есть разность
произведений знаменателя дроби на производную числителя и числителя дроби на производную знаменателя, а знаменатель есть квадрат прежнего знаменателя:
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' |
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u |
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u'υ uυ |
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, υ 0 . |
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(2) |
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υ2 |
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υ |
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Производные основных элементарных функций |
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xα ' αx 1 ; |
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(3) |
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x ' |
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, |
(х |
0); |
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(4) |
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2 |
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x |
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1 ' |
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1 |
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0); |
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, |
(х |
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(5) |
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x2 |
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x |
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x'x |
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1; |
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(6) |
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sin x ' cos x; |
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(7) |
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cos x ' sin x; |
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(8) |
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tg x ' |
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1 |
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, |
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x |
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n, n Z |
; |
(9) |
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cos2 |
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x |
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2 |
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ctg x ' |
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1 |
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, x n, n Z ; |
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(10) |
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sin 2 |
x |
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(arcsin x) |
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1 |
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, |
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х |
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1 ; |
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(11) |
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1 x2 |
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, |
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1 ; |
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(arccosx) |
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1 |
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х |
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(12) |
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1 x2 |
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(arctgx) |
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1 |
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; |
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(13) |
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1 x2 |
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131