Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

b a c a b c;

c b a a b c;

a c b a b c.

a x1i y1 j z1 k ;

b x2 i y2 j z2 k ; a x1i y1 j z1 k .

Тогда

x1

y1

z1

a b c

x2

y2

z2

.

(1)

x3

y3

z3

x1

y1

z1

Vпараллелепипеда |(a b) c|

x2

y2

z2

,

(2)

x3

y3

z3

1

1

1

x1

y1

z1

V

V

|(a b) c|

x

y

z

.

(3)

6

6

пирамиды

6 параллелепипеда

2

2

2

x3

y3

z3

Пример 1. Показать, что векторы a 2i 5 j 7k ,

b i j k ,

a i 2 j 2k

компланарны.

Решение. Находим смешанное произведение векторов:

5

7

1

1

1

1

1

1

2

(a b) c

1

1

1

2

5

7

8 15 7 0 .

1

2

2

2

2

1

2

1

2

AB 2i j k ,

AB 2i j k ,

AB 2i j k .

Находим смешанное произведение этих векторов:

1

1

3

2

2

2

2

3

( AB AC) AD

2

2

1

1

12 2 3 7 .

2

3

2

3

3

4

3

4

3

4

3

3

Так как объем пирамиды равен 1/ 6 части объема параллелепи-

педа, построенного на векторах AB ,

AC и AB , то V 7 / 6 (куб. ед.).

1 a1 2 a2 ... n an 0 .

(1)

системы векторов a1 ( 1, 2, 3);

a2 (7,8, 9); a3 ( 4, 5, 6) и

системы векторов b1 (3, 2, 4, 1); b2 ( 1, 2, 1, 2); b3 (1, 2, 2, 5) .

Решение. Сначала рассмотрим

систему векторов a1, a2 , a3 .

Найдем ранг матрицы, составленной из координат этих векторов:

1

2

3

A

7

5

9

.

4

5

6

3

2

4

1

B

1

2

1

2 .

1

2

2

5

Эта матрица размера 3 4

имеет ранг r(B) 2 , поэтому векторы

пространства.

Произвольный вектор

d

п-мерного пространства

можно

представить

в виде

линейной

комбинации векторов

базиса

a1, a2 , ..., an :

d x1 a1

x2 a2

... xn an .

(2)

Числа

x1, x2 , ..., xn

называются координатами вектора d в

5

4

3

А

3

1

2 ,

3

1

3

имеет определитель

| А | 15 24 9 9 36 10 31 0 , поэтому

векторы a1, a2 , a3 с линейно

независимы.

Соответственно,

эти

векторы образуют базис в Е3 .

Вектор

d

также имеет три координаты,

т.е.

принадлежит

Е3 .

Поэтому его можно представить в виде (2) или:

12

5

3

3

9

x1

4 x2

1

x3 1

.

2

3

10

3

Векторы равны, когда равны их соответствующие

координаты. Поэтому из последнего равенства получим:

5x1

3x2

3x3

12

x2

x3

9 .

4x1

3x

2x

3x

10

1

2

3

Матричным методом можно найти решение этой системы

x

1

5 3

6

12

1

93

3

1

x2

9 24

17

9

62

2 .

31

31

11

19

7

x3

10

31

1

Итак, разложение d по базису a1, a2 , a3

имеет вид

d 3a1 2a2 a3 .

1. Найти (5a

3b)

(2a

b) , если | a | 2, | b | 3, a

b .

Ответ: 13.

2.

Определить

угол

между

векторами

a

i

2 j 3k

и

b

6i 4 j 2k .

Ответ:

arccos

2

.

7

3. Найти векторное произведение векторов

a

2i 3 j 5k и

b

i

2 j

k .

Ответ:

7i

3 j k .

4.

Вычислить

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах a 6i 3 j 2k

и b

3i

2 j

6k .

Ответ:

49.

5.

Вычислить

площадь

параллелограмма,

построенного

на

векторах a 3b

и 3a

b

, если a

b 1, a,b 30o .

Ответ: 4.

6.

Найти

смешанное

произведение

векторов

a 2i

j

k ,

b

i

3 j

k ,

c

i j

4k .

Ответ: 33.

7.

Показать,

что векторы

a

2i

5 j

7k ,

b

i

j

k ,

c

i

2 j

2k

компланарны.

8. Найти скалярное произведение векторов

и

6b ,

a 3b

5a

если a 4,

b

6,

a,b

.

Ответ: –96.

9.

Определить

угол

между

векторами

a

3i

4 j

5k и

b

4i

5 j

3k .

Ответ: 2 14 .

10. Вычислить скалярное произведение векторов, заданных

своими координатами:

1.

(4, 3) ;

(2,1) .

4.

(6, 2,1)

;

(1,8, 3) .

a

b

a

b

2.

(5, 6) ;

(3, 2) .

5.

(7, 3,9)

;

(3,7,0) .

a

b

a

b

3.

(1, 3, 4) ;

(5,1, 2) .

6.

(4, 2, 5) ;

(2,6, 4) .

a

b

a

b

Ответ: 1) 5. 2) 3. 5) 0.

11.

Найти

внутренние

углы

треугольника

с

вершинами

A(1,7, 2) ,

B(5, 3,3) ,

C(12, 1, 5) .

Ответ: A 45o , B 90o , C 45o .

12. Определить, при каком значении векторы

a

i 2 j

k

и b

i

3 j 2k

перпендикулярны.

Ответ: 2 .

13. Вычислить работу,

произведенную силой F (8, 4, 6)

при

перемещении

ее

точки приложения

с начала

в

конец

вектора

s (5, 3, 2) .

Ответ: 23.

15. Три силы F1 (1, 3,4),

F2 (2,6, 5),

F3 (7, 8,9) ,

Ответ: 4.

16. Вычислить площадь треугольника с вершинами:

1.

A(1,1,3);

B(3, 1,6); C(5,1, 3) .

Ответ: 14.

2.

A(1,1,1); B(2,3,4); C(4,3,2) .

Ответ:

24 .

3.

A(2, 2, 2);

B(4,0,3); C(0,1,0) .

Ответ:

65

.

2

17. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами:

1.

A(2, 2, 2);

B(4,3,3); C(4,5, 4); D(5,5,6) .

Ответ:

7

.

6

2.

A(0,0,1);

B(2,3,5); C(6,2,3); D(3,7,2) .

Ответ: 20.

3.

A(6,1, 4);

B(2, 2, 5); C(7,1,3);

D(1, 3,7)

. Ответ:

23

.

3

18.

Сила F (4, 3, 7) приложена к точке

A(1,6,5) . Найти

19.

Сила F (2,4,6) приложена к

точке

A(3, 5,7) . Найти

момент этой силы относительно точки B(1, 8,9) .

Ответ: ( 27, 27, 27) .

20.

Написать разложение вектора x по векторам p , q и r .

1.

х { 2,0,9}

p {0, 1, 2}

q {1,0, 1}

r { 1, 2, 4}

2.

х {5, 12, 1}

p {1, 3,0}

q {1, 1,1}

r {0, 1, 2}

3.

х {0, 2, 4}

p {3,1, 1}

q {0, 3,1}

r {1,1,1}

Ответ. 1) {2, 1,1}. 2) {, ,} . 3) { 1,0,3} .

21.

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на

векторах m и n ( a,b – угол между векторами a и b ).

1.

m a 3b

n 2a b

a

2

b

1

a,b / 6.

2.

m 2a b

n a 3b

a

2

b

2

a,b / 4.

3.

m a 2b

n a 3b

a

1

b

2

a,b / 2.

Ответ. 1) S 7

S 10.

2) S 14 2. 3)