Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

b

отрезке интегрирования [a, b] .

В

этом случае

f (x) dx

называют

a

несобственным интегралом

от

разрывной

функции

или от

3

dx

Пример 2.

Вычислить

интеграл

и установить его

2x 2

1

сходимость.

Решение.

В точке

x 0 подинтегральная функция

есть вычисления площадей. Рассмотрим несколько примеров.

1 Если на отрезке [a,b] функция

f (x) 0 , то согласно формуле

b

S f (x) dx

(1)

(1)

a

можно найти площадь криволинейной трапеции, изображенной

на рисунке.

y

y f (x)

S

0

a

b

x

2

Если f (x) 0

на отрезке a; b , то криволинейная трапеция,

ограниченная кривой

f (x) , отрезком a; b

и прямыми x a

и x b ,

будет

расположена

ниже

оси 0x .

Определенный

интеграл

b

S f (x) dx в этом случае будет 0 , поэтому

a

b

S

.

(2)

a

3 Если площадь

S

ограничена двумя функциями y f (x) и

y (x) и прямыми

x a

,

x b , причем (x) f (x) для

x [a,b] ,

то

3

x3

3

6

3

0

0

3

0

54(3 0) 2(32 0) 108 кв. ед.

4

Если криволинейная трапеция ограничена кривой, которая

задается

параметрически x x(t) ,

y y(t) ,

t , причем

x() a ,

x( ) b , то площадь вычисляется по формуле

1

0

0

ab

2

S b sin t (a sin t) dt ab sin 2 t dt

(1 cos 2t) dt

4

2

0

2

2

ab

ab

1

2

2

t

sin 2t

.

2

2

4

0

0

Таким образом,

1

S

ab , откуда

S ab .

4

4

5 Если кривая задается уравнением в полярных координатах

() , то площадь

криволинейной

трапеции вычисляется по

формуле

1

S

2 d ,

(5)

2

где и

– значение

в предельных точках.

b

а

Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

лемнискатой Бернулли r 2

a2 cos 2 .

Решение.

Кривая

симметрична

относительно

координатных

4.3.2 Вычисление длины дуги кривой

Пусть

кривая

на

плоскости

имеет

уравнение

y f (x) .

.

Необходимо

найти

длину

дуги

этой

кривой, ограниченной

AB

прямыми x a и x b .

Разобьем отрезок

[a,b] на п частей точками

a x0 x1 x2 xi xn b .

P , P , , P

— соответствующие точки на графике

y f (x) .

0 1

n

Обозначим

L | P ; P | | P

;

P |

— длину

ломаной с

n

0

1

n 1

n

Теорема 1. Если на отрезке

[a,b]

функция

f (x) и ее

производная непрерывны, то длина дуги кривой

y f (x) ,

ограниченной прямыми x a

и x b , вычисляется по формуле

b

L

1 ( f (x))2 dx .

(1)

a

Пример 1.

Найти длину дуги кривой y

9 x 2 .

Решение.

Область определения кривой 3 x 3. Тогда

3

2

3

x

9 x

2

x

2

x

L

1

dx

dx 3arcsin

3

3 .

3

9 x

2

9 x

2

3

3

3

x х(t) ,

Если дуга задана параметрически

уравнениями

y у(t) ,

a t b , то ее длина находится по формуле

b

L

(х (t))2

( у (t))2 dt .

(2)

a

Пример 2. Вычислить длину дуги кривой, заданной

параметрически

x (t 2

2) sin t 2t cost,

0 t .

2t sin t,

y (2 t 2 ) cost

Решение. Найдем xt

и yt :

x

t 2 cost

,

y

t 2 sin t .

t

t

Вычисляем дифференциал длины дуги

dt

(x )2 ( y )2

dt

t 4 cos4 t t 4 sin4 t dt t 2 dt .

t

t

Итак, длина дуги

t

3

3

L t 2 dt

ед. длины.

3

0

3

0

,

где

– полярный радиус, а

– полярный угол,

то

длина дуги находится по формуле

L

( )2

( )2

d

,

(3)

где

и

– значение

на предельных точках дуги.