Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

Площадь поверхности вращения можно найти по формуле

a

272

Пример 2. Найти объем V тела, которое образовывается

вращением вокруг оси 0x фигуры, ограниченной линиями y x2 и

x y 2 .

Решение. Точками пересечения линий y x2 и x y 2 (обе

линии – параболы) есть точки с абсциссами 0 и 1. Поэтому,

воспользовавшись формулой (11), будем иметь

a

а площадь поверхности тела вращения:

273

a

Решение.

4.3.4 Примеры использования интегрального исчисления в

задачах экономического характера

Определенный интеграл применяют для вычисления суммарных экономических эффектов, общих, маргинальных взносов и т.д.

Рассмотренные примеры не исчерпывают всех возможных применений определенного интеграла в экономике.

Затраты, доход и прибыль

Пусть V (x) будет функцией общих затрат на производство х единиц продукции, V (x) – функция маргинальных затрат. Тогда определенный интеграл

274

равняется изменению общих затрат при росте количества

произведенной продукции от а до b единиц равняется площади

криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции

дохода и прибыли при росте реализации произведенной продукции от

а до b единиц вычисляется по формулам:

рост общих затрат будет:

275

(30,2 2000 0,01 4000000) (30,21000 0,01 1000000)

=(60400 40000) (30200 10000) 20400 20200 200 .

Итак, затраты возрастут на 200 гривен.

Максимизация прибыли во времени

Пусть V (t) , D(t) и P(t) – общие затраты, доход и прибыль,

которые изменяются за время t. Тогда

P(t) D(t) V (t) , или P (t) D (t) V (t) .

Максимум общей прибыли будет тогда, когда

P (t) 0 , или D (t) V (t) .

Другими словами, существует такое время t1 , когда

D (t) V (t) , т.е. скорости изменения дохода и затрат равны.

Пример 2. Скорости изменения затрат и дохода предприятия

после начала его деятельности определялись формулами

276

где V и D измерялись миллионами гривен, а t – годами.

Определить, как долго предприятие было прибыльным, и найти общую прибыль, которая было получено за это время.

Решение. Оптимальное для предприятия время t1 получим из условия D (t) V (t) :

10 2t 3 42 2t 3 ;

4t 3 32 t 3 8 t 382 4 .

Итак, предприятие было прибыльным 4 года, за это время было

125 345 32 4 128 125 10 128120 8 (млн. гр.).

Дисконтная прибыль

Пусть функция f (x) описывает изменение производительности

работы некоторого предприятия за определенное время. Найдем объем продукции V , которая выпущена за промежуток времени 0; T .

Известно, что если производительность работы за некоторое время постоянная, то объем продукции за промежуток времени

277

справедлива формула V f (t* ) t , где t* t; t t , которая тем

точнее, чем меньше t .

Поэтому по определению интеграла

T

V f (t) dt ,

0

если f (t) – производительность работы в момент времени t, тогда

T

f (t) dt – объем продукции, которая выпущена за промежуток

0

времени от 0 до T.

Определение начальной суммы по ее конечной величине,

Задачи этого класса встречаются при определении экономической эффективности капитальных вложений.

278

Пусть K1 – конечная сумма, которая получена за t лет, которую в финансовом анализе называют современной суммой. Если проценты

Пусть прибыль за год изменяется во времени и описывается функцией f (t) при удельной норме процента, равной i, процент начисляется непрерывно.

Дисконтная прибыль К за время Т вычисляется по формуле:

Пример 3. Определить дисконтную прибыль за 3 года при процентной ставке 8%, если базовые капиталовложения составили 10

млн. гривен, а ожидаемый прирост капитала 1 млн. гривен.

Решение. Очевидно, что капиталовложения задаются функцией f (t) 10 1t 10 t .

Получим дисконтную сумму капиталовложений по формуле:

279

125162,5e 0,24 156,25e 0,24 156,25

281,25 381,5e 0,24 30,5 млн. гривен.

Это означает, что получение одинаково нарощенной суммы через три года ежегодные вклады от 10 до 13 млн. гривен равновесны одновременному начальному вкладу 30,5 млн. гривен при той же непрерывной процентной ставке.

Пусть известна функция t t(x) , которая задает изменение затрат t на изготовление продукции в зависимости от степени освоения производства, где х порядковый номер изделия в партии товара.

Тогда среднее время tсред , затраченное на изготовление одного изделия в период освоения от а до b изделий, вычисляется по теореме о среднем значении определенного интеграл:

Что касается функции изменения затрат времени t(x) , то как правило, она такова: t x , где – затрата времени на одно изделие; – показатель производственного процесса.

Пример 4. Найти среднее время, которое затрачено на освоение выпуска одного изделия в период освоения от 10 до 20 изделий, если затрата времени на 1-но изделие = 200 мин., показатель производственного процесса 0,5 .

280

Решение. По формуле

4.3.5Упражнения к разделам 4.2 и 4.3

Вычислить интегралы, пользуясь подстановками:

Вычислить интегралы интегрированием по частям:

281