4.2 Определенные и несобственные интегралы
4.2.1 Определение и свойства определенного интеграла
К понятию определенного интеграла, как и многих других математических понятий, привели нужды решения задач геометрии,
физики и многих практических задач. Рассмотрим несколько таких задач.
Вычисление площади криволинейной трапеции
Пусть на отрезке [a, b] |
определена |
непрерывная |
функция |
y f (x) и будем пока что считать, что |
f (x) 0 для всех x [a, b] . |
Определение 1. Фигуру, ограниченную кривой |
y f (x) , |
отрезком [a, b] оси 0x , прямыми |
x a |
и |
x b , |
называют |
криволинейной трапецией. |
|
|
|
|
|
В отдельных случаях может f (a) 0 |
или |
f (b) 0 |
и тогда |
соответствующая сторона трапеции сжимается в точку. |
|
Для вычисления площади |
S |
этой криволинейной трапеции |
поделим отрезок [a, b] произвольным образом на п частей точками
a x0 x1 x2 xk xn b .
Длины этих частей
xk xk xk 1, k 1, 2, , n .
Перпендикуляры к оси 0x проведены из точек деления к кривой y f (x) , разделяют всю площадь трапеции на п узких криволинейных трапеций.
0 |
b |
х |
Заменим каждую из этих трапеций прямоугольником с |
основанием xk и высотой |
f (k ) , |
где xk 1 k xk . |
Сумма площадей всех таких прямоугольников будет равняться
n
f (1 ) x1 f (2 ) x2 f (n ) xn f (k ) xk .
k 1
Таким образом, площадь S криволинейной трапеции приближенно равняется этой сумме, т.е.
n
S f (k ) xk .
k 1
Эта формула будет тем точнее, чем меньше величина xk .
Чтобы получить точную формулу для вычисления площади S
криволинейной трапеции, надо в этой формуле перейти к пределу,
когда x 0 . Тогда
n
S lim f (k ) xk .
max хk 0 k 1
Определение определенного интеграла и его содержание
Пусть функция f (x) задана на отрезке [a, b] . Разобьем этот
отрезок на п частей точками деления
a x0 x1 x2 xn b .
254
В |
каждом промежутке |
xk 1 , |
xk |
длиной xk xk xk 1 |
выберем |
произвольную точку |
k и |
вычислим соответствующее |
значение функции |
|
|
|
f (k ), k 1, 2, , n .
|
|
n |
|
|
Получим |
сумму |
f (k ) xk , |
которую |
называют |
|
|
k 1 |
|
|
интегральной суммой для функции f (x) на отрезке [a, b] . |
Определение 2. Если существует конечный предел |
интегральной суммы при |
max xk 0 , |
независимый |
от способа |
разбиения отрезка [a, b] на части и выбора точек k , то этот предел
называется определенным интегралом от функции |
f (x) на отрезке |
[a, b] и обозначается |
|
b |
|
f (x)dx . |
(1) |
a |
|
Математически это определение можно записать так:
b |
|
n |
|
f (x)dx = lim |
f (k ) xk |
(2) |
a |
max хk 0 |
k 1 |
|
Числа а и b называются нижним и верхним пределом |
интегрирования. |
|
|
|
Функция y f (x) |
называется подинтегральной функцией, а |
f (x) dx – подинтегральным выражением.
Согласно этому формулу для вычисления площади S
криволинейной трапеции теперь можно записать в виде
a
Основные свойства определенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла и основных теорем о пределах вытекают следующие свойства
|
a |
b |
a |
1. |
f (x) dx 0; |
f (x) dx f (x) dx . |
|
a |
a |
b |
2. |
Для любых чисел a, b, c имеет место равенство |
|
b |
c |
b |
|
f (x)dx |
f (x)dx f (x)dx . |
|
a |
a |
c |
3. |
Постоянный множитель можно выносить за знак |
определенного интеграла, т.е |
|
|
b |
|
b |
|
C f (x) dx C f (x) dx . |
|
a |
|
a |
4. |
Определенный интеграл от алгебраической суммы функций |
равен алгебраической сумме их определенных интегралов: |
|
b |
|
|
|
f1 (x) f2 (x) fm (x) dx |
|
a |
|
|
|
b |
b |
b |
|
f1 (x) dx f2 (x) dx fm (x) dx. |
|
a |
a |
a |
5. |
Если функция |
f (x) 0 всюду на отрезке [a,b] , то |
|
|
b |
|
|
|
f (x)dx 0 . |
|
|
a |
|
6. |
Если f (x) g(x) всюду на отрезке [a,b] , то |
|
|
|
|
|
|
b |
b |
f (x)dx g(x)dx . |
a |
a |
7. Если функция f (x) |
интегрируема на отрезке [a,b] , то |
b |
b |
f (x)dx |
|
f (x) |
|
dx . |
|
|
|
|
aa
8.Если М и т – соответственно, максимум и минимум функции
f (x) на отрезке [a,b] , то
b
m(b a) f (x)dx M (b a) .
a
4.2.2 Формула Ньютона - Лейбница
Теорема 1. Непрерывная на отрезке [a,b] функция f (x)
имеет на этом отрезке первообразную. Одной из первообразных является функция
a
В формуле (1) переменная интегрирования обозначена буквой t,
чтобы избежать путаницы с верхним переменным пределом х.
Согласно теореме 1, непрерывная на отрезке [a,b] функция f (x) имеет первообразную, которая определяется формулой
x |
|
f (t)dt F (x) C , |
(2) |
a |
|
где С – некоторая постоянная. Подставляя сюда |
x a , |
получаем с учетом свойства 1 определенного интеграла: |
|
257 |
|
a |
|
f (t)dt F (a) C, |
0 F (a) C , |
a |
|
откуда C F(a) . Тогда из (2) имеем:
x |
|
f (t)dt F (x) F (a) . |
|
a |
|
Полагая x b , получаем формулу |
|
b |
|
f (x)dx F (b) F (a) |
(3) |
a
Равенство (3) называется основной формулой интегрального
исчисления, или формулой Ньютона - Лейбница. |
|
Разность F(b) F(a) условно записывают символом F(x) |
|
b |
, т.е. |
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
b |
|
f (x)dx F (x) |
|
ba |
(4) |
|
|
|
a |
|
Формула (4) дает широкие возможности вычисления определенных интегралов. Нужно вычислить неопределенный интеграл и затем найти разность значений первообразной в пределах интегрирования.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 1. |
Вычислить интеграл |
3x 4 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3x5 |
|
3 |
|
3 243 |
|
3 |
|
729 |
|
3 |
|
732 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x4 |
dx |
|
|
|
|
|
|
. |
5 |
|
1 |
5 |
|
|
5 |
|
5 |
5 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Вычислить интеграл:
|
3 |
2 dx |
|
|
3 |
|
|
2 arctg x |
|
|
|
|
1 x2 |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
Пример 3. |
|
|
Вычислить интеграл: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
|
x dx |
|
|
1 |
|
8 |
d ( |
x2 8) |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x2 |
8 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
x2 8 |
|
x2 8 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
4 
8 .
4.2.3 Методы интегрирования в определенном интеграле
Интегрирование по частям
Теорема 1. Пусть функции u(x) и (x) непрерывны вместе
со своими производными |
u (x) |
|
|
и (x) |
на отрезке a; b , тогда |
справедлива формула: |
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
b |
b |
|
|
|
u dv uv |
|
v du . |
(1) |
|
|
|
a |
|
|
|
a |
a |
|
|
Разность (1) называется формулой интегрирования по частям |
в определенном интеграле. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
Пример 1. |
Вычислить интеграл xex dx . |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
Решение. |
Примем |
здесь |
u x |
и |
ex |
(тогда d e x dx , |
du dx ).
xex dx xex 1 ex dx e ex 1 |
e (e 1) 1 . |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
Вычислить интеграл (2x 1)e2 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Положим u 2x 1, |
d e2 x dx , |
тогда |
|
|
|
|
|
|
|
du 2dx, |
e2 x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e2 x |
|
|
(2x 1)e2 x dx |
2x 1 |
e2 x |
1 e2 x dx |
3 |
e2 |
1 |
|
|
1 e2 . |
|
|
|
|
|
2 |
|
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
2 |
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Замена переменной в определенном интеграле
Теорема 2. Пусть: 1) f (x) – непрерывная функция на
отрезке [a,b] ; 2) функция (t) – дифференцируема на [a,b] ,
причем (t) непрерывна |
на [ , ] |
и |
множеством |
значений |
функции (t) является отрезок [a,b] ; |
3) |
() a, ( ) b . Тогда |
справедлива формула |
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
f (x) dx f ( (t)) (t) dt . |
(2) |
a |
|
|
|
|
Формула (2) называется формулой замены переменной в
определенном интеграле.
4
Пример 3. Вычислить интеграл x
x2 9 dx .
0
Решение. Применив формулу замены переменной в определенном интеграле справа налево (здесь роль переменной t
сыграет переменная х, получим
4 |
|
|
|
1 |
4 |
|
1 |
|
|
|
1 |
25 |
|
1 |
|
1 |
|
2 |
|
|
|
25 |
|
x |
x2 9 |
|
(x2 9) |
|
d (x2 9) |
|
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
dx |
2 |
|
2 dy |
|
y |
|
|
2 |
|
2 |
3 |
0 |
|
|
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(255 9 3) 32 |
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. |
Вычислить интеграл |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
9 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
Применим замену переменной x2 t , |
0 t 3 . |
|
Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
260 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x dx |
|
1 3 |
|
dt |
|
1 |
|
t |
|
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
. |
|
9 x4 |
|
9 |
t 2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
6 |
|
3 |
|
0 |
6 4 |
|
|
24 |
|
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.2.4 Несобственные интегралы
При изучении определенного интеграла мы выходили из условий конечности отрезка интегрирования и ограниченности на нем подинтегральной функции. Тем не менее, на практике применяются интегралы с бесконечными промежутками интегрирования и интегралы неограниченных функций, с чем связано понятие
несобственного интеграла.
Понятие и разновидности несобственных интегралов
Согласно теореме существования определенного интеграла этот интеграл существует, если выполненные условия:
1)отрезок интегрирования [a, b] конечен;
2)подинтегральная функция f (x) непрерывная или ограничена
иимеет конечное число точек разрыва.
Определение 1. Если хотя бы одно из условий 1) или 2) не
выполняется, то определенный интеграл называют несобственным.
|
|
|
Если не выполняется первое условие, т.е. b или |
a , |
или a |
и b , то интегралы называют несобственными |
интегралами с бесконечными пределами. |
|
Определение 2. Если не выполняется лишь второе условие, то подинтегральная функция f (x) имеет точки разрыва второго рода на
