Сукач Т.Н. краткий курс высшей математики

называется решением, или интегрированием дифференциального

уравнения.

Определение 4. Решением, или интегралом уравнения (2)

называется всякая дифференцируемая функция y (x) ,

удовлетворяющая этому уравнению, т. е. такая, после подстановки которой в уравнение (2) оно обращается в тождество, т. е.

(x) F[x, (x)] .

дифференциального уравнения.

Определение 6. Общим решением дифференциального

включающие одну произвольную постоянную величину и обладающие тем свойством, что решая их относительно у при любых частных значениях произвольной постоянной, получаем функции вида y (x) , являющиеся решениями уравнения (2) или (3).

Уравнения (4) определяют семейство интегральных кривых

уравнения (2).

Определение 7. Частным решением дифференциального уравнения (2) называется такое решение, которое получается из общего решения (4) при некотором частном значении произвольной постоянной. Произвольная постоянная С, входящая в (4), определяется из так называемых начальных условий.

Задача с начальными условиями ставится так: найти решение y (x) уравнения (2) такое, чтобы оно принимало заданное значение

293

почленно это уравнение, получим его общий интеграл:

P(x)dx Q( y)dy C .

Пример 1. Решить уравнение

( y xy)dx (x xy)dy 0 .

Решение. Преобразуем левую часть уравнения: y(1 x)dx x(1 y)dy 0 .

Делим обе части уравнения на xy 0 :

получим:

ln y ln c ln x ,

т. е. y cx – общее решение ДУ.

Оно представляет собой, геометрически, семейство

равносторонних гипербол. Выделим среди них одну, проходящую через точку (4; 1). Подставим x 4 и y 1в общее решение

295

уравнения: 1 4c , c 4 .

Получаем: y 4x – частное решение уравнения y xy .

5.3 Линейные дифференциальные уравнения первого порядка и уравнения Бернулли

Определение 1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида

Наименование этого уравнения объясняется тем, что искомая функция у и ее производная у' содержатся в уравнении только в первых степенях и уравнение не имеет члена, содержащего произведение уу'.

Теорема 1. Общее решение линейного дифференциального

уравнения первого порядка можно найти по формуле

Перед тем как найти общее решение уравнения (1), разберем на частном примере способ интегрирования линейного уравнения.

Пример 1. Пусть дано уравнение

y 2x y x2 . (3)

Будем искать его решение в виде произведения двух функций и и v переменной х, т. е. положим

y uv , (4)

тогда

296

y u v v u ,

и уравнение (4) преобразуется в уравнение

Заметим следующее: нам нужно найти две функции и и v; эти функции связаны лишь одним условием: их произведение должно быть решением уравнения (3). Поэтому одну из этих функций мы вправе выбрать произвольно. В целях упрощения уравнения (5)

выберем функцию v так, чтобы выражение v 2x v (стоящее в (5) в

скобках) обратилось в нуль; иначе говоря, возьмем за функцию v одно из решений уравнения

(произвольную постоянную мы не вводим, так как функцию v

выбираем как одно из решений уравнения (6)). При таком выборе функции v уравнение (5) приводится к виду

297

(здесь опустить произвольную постоянную мы уже не вправе, так как из двух функций и и v произвольно выбрать можно только одну).

Так как y uv , следовательно, общее решение исходного уравнения получается в виде

Определение 2. Дифференциальные уравнения первого порядка

вида

Отсюда находится общее решение у уравнения Бернулли.

Аналогично тому, как это делалось для линейных уравнений,

можно показать, что решение уравнения Бернулли можно искать в

298

виде произведения двух функций:

y u(x)v(x)

где v(x) – какая-либо функция, отличная от нуля и удовлетворяющая уравнению v Pv 0 .

Пример 2. Найти общее решение уравнения Бернулли

Разделим переменные и проинтегрируем:

299

Разделим переменные и проинтегрируем:

u2 du dxx ;

u3 ln | x | C; 3

u3 3ln | x | C;

u 3 3ln | x | C .

5). Откуда y uv 3 3ln | x | C х.

5.4 Однородные дифференциальные уравнения первого

порядка

Определение 1. Однородным дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение, которое можно

привести к виду

y f (x, y) ,

указанному условию, называют однородной нулевого порядка.

Замечание. Однородное дифференциальное уравнение

уравнению с разделяющимися переменными.

300

Пример 3. Найти общее решение однородного дифферен-

циального уравнения первого порядка:

t x t t t 2 1.

t x t 2 1.

Проинтегрируем обе части

ln t t 2 1 ln | x | C.

301