5.5Дифференциальные уравнения второго порядка,
допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования дифференциальных уравнений высших порядков является метод понижения порядка.
Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной
(подстановки) данное дифференциальное уравнение сводится к уравнению, порядок которого ниже. Рассмотрим три типа уравнений,
допускающих понижение порядка.
1) Уравнение вида
y f (x) ,
где f (x) – непрерывная на (a; b) функция.
Решение уравнения находится понижением порядка и интегрированием.
Пример 1. Найти общее решение уравнения y x2 sin x .
Решение. Путем интегрирования данного уравнения получаем:
|
|
|
y |
x3 |
cos x C ; |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x4 |
y |
|
|
|
|
|
|
sin x C1 x C2 . |
|
cos x C dx |
|
|
3 |
|
|
|
12 |
|
2) Уравнение вида
F(x, y , y ) 0 ,
не содержащее искомую функцию у.
Путем подстановки y p ; и y dpdx сводится к уравнению первого порядка F(x, p, p ) 0 относительно функции p(x) .
Пример 2. Найти общее решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
y |
x . (1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ведем подстановку y p , тогда |
y |
|
dp |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
Перейдем к уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
1 |
p 0 . |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение линейное |
относительно |
|
р. |
Пусть p u v , а |
p u v v u . Подставив в (2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v v u |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
uv x ; |
|
u v |
|
|
v |
x , |
|
|
u v |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
перейдем к системе |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
v 0 |
(3) |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u v x |
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решим отдельно (3) и (4).
(3): dvdx vx . Разделим переменные и проинтегрируем:
|
|
dv |
|
dx |
; |
ln | v | ln | x |; |
v x . |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
x |
|
|
|
(4): u v x ; |
|
du |
|
x x . |
Разделим переменные и проинтег- |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рируем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du dx ; |
u x C1 . |
|
Тогда
p uv x(x C1 ) x2 C1 x .
Возвращаясь к искомой функции у, имеем
|
|
y x2 C x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x |
2 C1 x)dx |
x3 |
|
C1 x2 |
C2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3) Уравнение вида |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F( y, y , y ) 0 , |
|
|
|
|
|
|
|
не содержащее аргумент х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Путем подстановки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y p( y) y |
dp |
y |
или |
y |
dp |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
приводится к уравнению |
первого |
|
порядка |
|
F |
y, p, |
|
p |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
относительно функции р, зависящей от у.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
y y ( y )2 0 .
Решение. Уравнение не содержит явный аргумент х, поэтому
|
сделаем подстановку |
|
|
|
|
|
|
|
y p( y) , |
тогда |
y p |
dp |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и данное уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
y p |
dp |
p2 |
0 или |
y |
dp |
p 0 . |
|
|
dy |
|
|
dy |
|
|
|
|
|
Это уравнение первого порядка с разделяющимися переменными относительно функции p( y) .
Разделяя переменные, получим
|
|
|
dp |
|
dy |
ln p ln y ln C p |
C1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
y |
|
|
|
|
|
1 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но |
p |
dy |
|
, тогда |
|
dy |
|
C1 |
или |
y dy C1dx . |
dx |
|
dx |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда получим общее решение заданного уравнения:
y2 C1x C2 y 2(C1x C2 ) . 2
5.6 Линейные однородные уравнения с постоянными
коэффициентами
Определение 1. Дифференциальное уравнение второго порядка
называют линейным однородным уравнением с постоянными коэффициентами, если оно имеет вид
ay by cy 0 , где a,b, c const . |
(1) |
Решение уравнения (1)будем искать в виде |
y ekx (2). Тогда |
подставив (2) в (1) вместо у , уравнение (1) обращается в тождество
a(ekx ) b(ekx ) с ekx 0 ; |
ekx (ak 2 bk c) 0 , |
|
после сокращения на ekx имеем |
ak 2 bk c 0 . Функция |
у ekx |
будет решением уравнения (1) тогда и только тогда, когда трехчлен
ak 2 bk c 0 обратится в нуль, т.е. только в том случае, |
когда k |
будет корнем квадратного уравнения ak 2 bk c 0 , |
которое |
называется характеристическим уравнением для дифференциаль-
ного уравнения (1).
Для нахождения общего решения такого уравнения целесообразно действовать таким образом:
305
1) составить характеристическое уравнение путем замены y на
k 2 , |
y на k , |
y на 1, т.е. получить алгебраическое уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
ak 2 bk c 0 относительно k. |
|
(2) |
|
2) решить алгебраическое уравнение, используя формулу: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
b |
|
b2 4ac |
. |
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1, 2 |
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) проанализировать возможные корни характеристического |
уравнения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) действительные и различные, т.е. k1 k2 ; |
|
|
|
б) действительные и равные, т.е. k1 k2 ; |
|
|
|
в) |
|
комплексные, |
|
|
т.е. |
|
k1 i , |
k1 i , |
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
4ac b2 |
|
|
|
|
|
i |
1, |
|
, |
|
|
. |
|
|
|
|
2a |
|
|
2a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4) в зависимости от значений корней характеристического уравнения общее решение заданного дифференциального уравнения
(1) имеет вид:
в случае а): |
y C ek1x |
C |
|
ek2 x . |
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
в случае б): |
y ekx (C |
C |
2 |
x) . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
в случае в): |
y e x (C cos x C |
2 |
sin x) . |
|
1 |
|
|
|
|
|
Пример 1. Найти общие решения уравнений:
а) y 3y 2y 0 ;
б) y 4y 4y 0 ;
в) y 4y 5y 0 .
Решение. Для уравнения а) характеристическим уравнением
является k 2 3k 2 0 . |
|
|
|
|
|
|
Найдем корни этого уравнения: k1 2; |
k2 1 . |
|
|
Корни характеристического уравнения действительны и различ- |
ны, поэтому общее решение уравнения а) будет: y C e2 x |
C |
ex . |
|
|
|
|
1 |
2 |
|
Для уравнения б) характеристическим уравнением является |
k 2 4k 4 0 (k 2 2)2 0 k k |
2 |
2 . |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
Корни характеристического уравнения действительны и равны, |
поэтому общее решение уравнения б): y e 2 x (C C |
x) . |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
Для уравнения в) характеристическим уравнением является |
|
|
|
|
|
k 2 4x 5 0 k |
4 16 20 |
4 2i |
2 i . |
|
1,2 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
Корни этого уравнения комплексные |
числа, |
причем 2 , |
1, поэтому общим решением дифференциального уравнения в)
является: y e 2 x (C1 cos x C2 sin x) .
5.7 Пример использования дифференциальных уравнений в
экономических задачах
Пример 1. Экономисты установили, что скорость увеличения инвестированного капитала в любой момент времени t
пропорциональна величине капитала с коэффициентом пропорциональности равным согласованному проценту k
непрерывного возрастания капитала. Необходимо найти закон возрастания инвестированного капитала, учитывая величину начальной (t 0) инвестиции k0 .
Решение. Пусть k(t) – величина инвестированного капитала в
момент времени t (искомая функция).
|
Тогда |
dk(t) |
– скорость изменения инвестиции, r |
|
k |
|
. По |
|
dt |
100 |
|
|
|
|
условию задачи имеем
Необходимо решить задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка.
Общим решением дифференциального уравнения является
функция |
k(t) ert C eC ert . Учитывая начальное условие |
t 0 , |
имеем |
k |
0 |
eC . Решением задачи Коши является функция |
k(t) k |
ert . |
|
|
|
|
0 |
|
5.8 Упражнения к главе 5
1. Найти общее решение или общий интеграл дифферен-
циальных уравнений с разделяющимися переменными:
1) |
xydx (x 1)dy 0 ; |
2) |
( y2 1)dx xydy 0 ; |
3) |
(x 1)dy ( y 2)dx 0 ; |
4) |
(1 y2 )dx (1 x2 )dy 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
1 y2 dx 1 x2 dy 0; |
6) |
(1 y)dx (1 x)dy 0 ; |
7) |
cos2 y dx ctg x dy 0 . |
|
|
2. Найти общее решение линейных дифференциальных |
уравнений первого порядка: |
|
|
1) |
y 2y 4x ; |
2) |
y ctgx y sin x ; |
3) |
xy 2 y 2x4 ; |
|
|
|
|
|
|
4) (x2 1) y 4xy 3 ; |
5) |
y y ex ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) xy y x ; |
|
|
|
7) |
xy 3y x 3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Найти общее решение однородных дифференциальных |
уравнений первого порядка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y |
|
|
|
|
y2 |
|
y |
|
1) |
y |
|
|
x |
; |
|
|
|
|
2) y |
x |
|
; |
|
|
3) y x2 |
x ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2yx y2 |
|
|
|
|
y |
|
|
|
y |
|
|
y2 |
|
y |
|
4) |
y |
|
x2 |
|
|
; |
5) y |
x |
tg x ; |
6) y x2 |
x ; |
|
|
|
|
|
y |
|
y |
sin |
2 |
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти общее решение уравнений Бернулли: |
|
|
|
|
1) |
x2 y2 y xy3 1 ; |
2) |
y |
1 |
|
|
y xy2 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
3) |
xy y2 ln x y 0 ; |
4) |
y |
|
1 |
|
y y2 |
0 ; |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
y 2x y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Найти решение задачи Коши: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
y 3y 3 , |
|
y(2) 0 ; |
2) |
xy y ex , |
|
y(1) 1 ; |
|
|
3) |
y ctgx y 2, |
y(0) 1; |
4) |
y |
y |
sin 2 |
y |
, y(1) |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x |
4 |
|
5) |
y 5 |
x y |
, |
y(1) 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Найти общее решение дифференциальных уравнений второго
порядка:
1) |
y tgx y 1 ; |
2) |
2 y y ( y )2 0 ; |
3) |
x( y 1) y 0 ; |
4) |
xy y x2ex ; |
5) |
y 2 y 1 ( y )2 0 . |
|
|
7. Найти общее решение уравнений: |
|
1) |
y y 0 ; |
2) |
y 4y 3y 0 ; |
3) |
y y 2y 0 ; |
4) |
y 4y 0 ; |
5) |
y y 3y 0 ; |
6) |
y y y 0 . |
8. Решить задачу экономического содержания:
Скорость возрастания численности населения пропорциональна численности населения. Найти закон роста численности населения страны, в которой в 2000 году было 50 млн. населения. Сколько населения будет в 2010 году?
5.9 Задания для индивидуальной семестровой работы студентов к главе 5
1. Найти общее решение однородного дифференциального
уравнения 1-го порядка
|
|
|
y |
|
|
1) |
xy y cos ln |
|
. |
|
|
|
|
x |
|
|
3) |
x2 y xy y2e |
x |
y . |
|
|
xy y |
|
|
|
|
|
|
5) |
|
y2 x2 . |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
7) |
xy y 1 |
ln |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
9) |
xy y ln |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
2) |
xy y |
x3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y 2 |
|
|
|
|
|
|
4) |
xy y x e y / x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6) |
xy |
y2 x2 y . |
|
|
|
|
|
|
4x2 y 2 |
|
|
y |
|
|
8) |
y |
x2 |
4 y 2 |
x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 4xy |
|
|
10) |
|
y |
2(x2 y2 ) . |
|
|
|
y
11) xy y xe x .
13) xy y x2 y2 .
15) x2 y 2xy y2 .
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17) |
xy 2( y xy ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
19) |
xy y x cos |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
xy |
|
y |
2x2 |
|
|
|
|
21) |
y . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
23) |
xy |
2x y . |
|
|
|
|
|
|
|
25) |
y |
3y 4x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y 3x |
|
|
|
|
y |
|
|
|
2 y2 |
|
|
|
27) |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
x2 3xy |
|
|
|
|
y |
|
|
y3 |
|
|
|
29) |
|
|
. |
|
|
|
|
2xy2 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy y2 |
|
|
|
|
|
12) |
y |
x2 2xy . |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
2xy |
|
|
|
|
|
14) |
|
|
|
|
. |
|
|
|
3x2 y2 |
|
|
16) |
y |
|
|
|
|
y |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 y 2 |
|
|
|
|
|
18) |
y |
(x y)2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 y2 |
|
|
|
|
|
|
20) |
y |
x2 3xy . |
|
|
|
|
|
22) |
y |
|
|
xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xy x2 y2 |
|
|
24) |
y |
|
|
xy y2 |
|
. |
|
|
|
2x2 xy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26) |
y |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x2 y 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
28) |
y |
|
x 2 y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x y |
|
|
|
|
|
30)y x y .
xy
2 Найти общее решение линейного дифференциального уравнения и уравнения Бернулли
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) |
y |
1 |
|
|
y y2 . |
2) |
y |
1 |
|
y |
|
x |
. |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
y2 |
|
y |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
y |
1 |
y |
|
1 |
. |
3) |
|
|
|
y 2x y . |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
y |
5) |
y |
|
2 |
y x4ex y3 . |
6) |
y y tg x y4 cos x . |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|