Перевірка епюр внутрішніх зусиль

1) Перевірка рівноваги вузлів

Всі опорні реакції і внутрішні зусилля визначалися, виходячи з умов рівноваги рами. Тому вся рама або будь-яка її частина мають задовольняти умовам рівноваги. Отже, якщо відокремити з рами будь-яку її частину (вузол, стержень, сукупність стержнів тощо) і прикласти до неї всі зовнішні і внутрішні сили, які виникають в місцях перерізів, то рівняння рів­но­ваги, складені для цієї частини, повинні задовольнятися.

Перевіримо, наприклад, рівновагу двох вузлів розташованих між характерними точками 12, 13 та між точками 6,8,9. Зов­нішні навантаження на вузли відсутні. В місцях перерізів при­кла­даємо внутрішні сили, величини яких визначаються з відповідних епюр і спрямовуються за правилом знаків. Так, додатні поздовжні сили повинні діяти в напрямку від вузла, що відповідає розтягненню. До­дат­ні поперечні сили прикладаються по відношенню до вузла в на­прямку руху годинникової стрілки. Згинаючі моменти спрямо­ву­ються згідно з розтягненими волокнами в місцях перерізів. Запишемо 3 рівняння рівноваги для кожного з вузлів:

2. Перевірка відповідності між епюрами поперечних сил та моментів

Як вже було зазначено між епюрою поперечних сил та епюрою моментів існує диференційна залежність:

,

де х-координата перерізу, яка вимірюється вздовж стержня. Виходячи з геометричного змісту похідної, можна вважати, що поперечна сила в перерізі стержня дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до епюри М в даному перерізі стержня. Якщо дотична відхиляється від стержня за годинниковою стрілкою, то поперечна сила в перерізі буде додатньою.

Перевіримо відповідність між епюрами М і Q на ділянках де епюра М прямолінійна:

На ділянках, де епюра М криволінійна, необхідно розглянути рівновагу всього елемента. В данному прикладі необхідно розглянути рівновагу 2 елементів стержня: 1-3, та 4-6. До зазначених елементів прикладаємо зовнішнє навантаження. В крайніх точках елементів прикладаємо моменти, що визначаються з побудованої епюри, та поперечні сили які вважаємо невідомими. Напрямок поперечних сил має бути таким, щоб обертати розглядуваний елемент за годинниковою стрілкою. Складаючі рівняння рівноваги для кожного з елементів визначимо значення поперечних сил.

13 Розрахунок балок на міцність

Як було зазначено в п.9 в поперечних перерізах елементів конструкцій внаслідок дії зовнішніх сил виникають напруження (та). В балках, обчислення нормальних та дотичних напружень виконують за формулами:

, (1)

де y – координата вздовж осі y, що визначає розташування точки визначення напруження;

- момент інерції площі поперечного перерізу відносно центральної осі поперечного перерізу навколо якої діє момент М;

- статичний момент площічастини поперечного перерізу, яка знаходиться вище координати y

d– ширинапоперечного перерізу в місці визначення напруження.

Умова міцності балокза нормальними та дотичними напруженнями полягає в тому, що їх максимальні значення не повинні перевищувати допустимих :

, . (2)

При виникненні в коротких балках значних поперечних сил, виникає необхідність перевірки міцності за головними напруженнями. 3 теорія міцності має наступний вигляд:

Значення допустимих напружень залежать від типу матеріала конструкції та умов її експлуатації і визначаються за нормативною документацією. Як правило допустимі дотичні напруження приймають рівними .

Якщо центральні осі розташовані симетрично до поперечного перерізу, обчислення максимальних нормальних напружень виконують за формулою:

, (3)

де геометрична характеристика поперечного перерізу, що називаєтьсямоментомопору. Формули обчислення Wта J для поперечних перерізів у вигляді прямокутника та кола наведені в 37табл.1.

38табл.1

Дуже часто при розрахунках використовують стандартизовані поперечні перерізи у вигляді кутиків (а), швелерів (б), двотаврів (в), таврів (г на рис.39). Для них геометричні характеристики наведені в сортаменті. В табл.3 наведений фрагмент сортаменту для двотаврів.

а) б) в) г)

Рис.39

(4)

Приклад

Для балки зображеної на рис.36 необхідно підібрати таку конфігурацію поперечного перерізу у вигляді двотавра яка б забезпечувала її міцність за нормальними, дотичними та головними напруженнями. Балкамає бути виготовленою зі сталі Ст.3 для якої: ,.

На першому етапі для визначення максимальних значень моментів та поперечних сил необхідно побудувати епюри внутрішніх зусиль. В п.10 показаний хід розрахунку цієї балки з побудовою зазначених епюр. Як можна побачити з епюр (рис.40): ;.

При виконанні розрахунку всі величини попередньо приведемо до системи СІ:

,

; .

Рис. 40

За формулою (3) визначаємо потрібний момент опору для поперечного перерізу:

В табл.3 шукаємо двотавр для якого .Таким є двотавр №20Б1 для якого: ,,,,,.

Максимальні нормальні напруження виникають в крайніх точках двотавру (т.1 на рис.37,а), максимальні дотичні напруження діють в центрі двотавра (т.2 на рис.41,а).

а) б) в)

Рис. 41

Перевіряємо чи виконується умова міцності за нормальними та дотичними напруженнями в цих точках:

,

.

Крім зазначених двох точок в двотаврах небезпечним також вважають місце поєднання стінки з поличкою (т.3 на рис.41,а). Тут міцність перевіряють за головними напруженнями. Оскільки еп.є прямолінійною (рис.41,б), то значення нормального напруження в т.3 визначаємо використовуючи подібність трикутників:

Для обчислення дотичних напружень, попередньо визначимо статичний момент площі тієї частини двотавра що розташована вище від розглядуваної точки:

В якості величини d приймемо найменшу ширину перерізу в т.3:

Визначаємо значення дотичного напруження:

Обчислюємо головне напруження, та перевіряємо виконання умови міцності:

Отже міцність балки виконується за трьома умовами.