Приклад

Необхідно визначити зусилля в позначених стержнях ферми, зображеної на рис.17,а.

На першому етапі визначаємо опорні реакції, що виникають в опорах А та В (рис.17,б).

а) б)

Рис.17

:

:

:

Перевірка правильності визначення реакцій:

:

Визначаємо дійсний напрямок реакцій (рис.18).

Рис.18

На другому етапі визначаємо нульові стержні ферми. Стержні 2-8, 3-9, 5-11, 6-12 є нульовими за другою ознакою нульових стержнів; стержень 12-Б за третьою ознакою.

Зусилля в стержнях А-1, та А-8 визначаємо методом вирізання вузлів. Вирізаємо вузол А (рис.19) та складаємо для нього 2 рівняння рівноваги:

Рис.19

Для визначення зусилля в стержні 4-10 вирізаємо вузол 4.

Рис.20	Для визначення зусиль в стержнях 2-3, 8-3, 8-9 застосуємо метод наскрізних перерізів. Перерізом 1-1 відокремимо ферму на 2 частини. Раціональніше розглядати рівновагу лівої частини ферми рис.21, оскільки на неї діють менше сил.
Рис.21	: :

:

8. Геометричні характеристики поперечного перерізу

Здатність матеріала чинити опір деформаціям залежить від його фізичних та геометричних характеристик.

До геометричних характеристик тіла відноситься його довжина та параметри поперечного перерізу. До параметрів, що характеризують поперечний переріз належать:

• площа поперечного перерізу;

• статичний момент площі;

• момент інерції

Розглянемо довільну конфігурацію поперечного перерізу тіла (рис.22) Виділимо елемент площі з координатами,.Добуток елемента площі на відстань від центра ваги цієї площі до осі, називаєтьсястатичним моментом площі цього елемента відносно розглядуваної вісі.

Рис.22

Підсумувавши такі добутки по всій площі фігури отримаємо статичні моменти поперечного перерізу відносно осей та.

Статичні моменти площі поперечного перерізу відносно центральних осей (осей, що проходять через центр ваги) дорівнюють нулю.

Якщо по аналогії із статичним моментом, елементи площі будемо множити на квадрат відстані до розглядуваної осі то отримаємо визначення момента інерції елемента площі.

Приклад

Визначимо статичні моменти та моменти інерції заданої площі поперечного перерізу тіла у вигляді прямокутника відносно осей та(розміри задані в сантиметрах).

Статичні моменти площі: Моменти інерції:

9. Внутрішні зусилля

Між сусідніми точками тіла (кристалами, молекулами, атомами) завжди виникають певні сили взаємодії (внутрішні сили). Дія зовнішніх сил призводит до виникнення додаткових внутрішніх зусиль, які намагаются зберегти тіло як єдине ціле, і протидіють всякому намаганню змінити розташування точок тіла (деформуванню тіла). Зовнішні сили навпаки, завжди намагаються викликати деформацію тіла, змінити взаємне розташування точок.

Для виявлення та подальшого обчислення внутрішніх зусиль широкого застосування набув метод перерізів. Розглянемо тіло що знаходится в рівновазі під дією зовнішніх сил та реакцій вязей. У місці де ми хочемо визначити внутрішні зусилля уявно проведемо поперечний переріз (рис.23). Внаслідок цього тіло розділиться на 2 частини А і В. При цьому сам переріз буде мати 2 сторони: одну, що належить частині А, і другу що належить частині В (рис.24).

Рис.23 Рис.24

В кожній точці з обох сторін перерізу будуть діяти сили взаємодії. Причому внутрішні сили, що будуть діяти в поперечному перерізі на стороні А у відповідності з 3 законом Ньютона рівні за величиною і протилежні за напрямком внутрішнім силам діючим в поперечному перерізі на стороні В.

Напрямок внутрішніх зусиль може бути довільним. Для проведення розрахунів будь-яке довільно спрямоване внутрішнє зусилля може бути представленим дією 2 складових цього зусилля. Напрямок 1 складової буде співпадати з напрямком нормалі до поперечного перерізу. 2 складову спрямуємо вздовж вісі перпендикулярної до нормалі (рис.25).

Рис.25

Сумма перших складових діючих на одиничній площі перерізу називаєтся нормальним напруженням . Сума других складових діючих на одиничній площі перерізу називаєтся дотичним напруженням. Напруження вимірюються в паскалях ().

В загальному випадку завантаження важко визначити закон розподілу внутрішніх зусиль в поперечному перерізі. Однак користуючись рівняннями рівноваги можна визначити їх рівнодіючі сили. Таким чином дія внутрішніх зусиль на поперечний переріз тіла може бути представленою дією 3 сил, що прикладені в центрі ваги поперечного перерізу (рис.26):

- повздовжньої сили N,

- поперечної сили Q,

- згинального момента M.

Повздовжня сила N спрямована вздовж осі стержня і викликає його повздовжню деформацію (стиск або розтяг). Вона дорівнює сумі проекцій всіх внутрішніх зусиль, діючих в перерізі на нормаль до перерізу.

Поперечна сила Q спрямована поперек осі стержня і являє собою суму проекцій всіх внутрішніх зусиль діючих в перерізі на нормаль до перерізу.

Згинальний момент являє собою суму моментів всіх внутрішніх зусиль відносно центральної вісі перерізу.

Рис.26

Зусилля N,Q,M, що прикладені в поперечному перерізі частини тіла А дорівнюють аналогічним зусиллям прикладеним в поперечному перерізі частини тіла В, але з протилежними напрямками.

Практичне обчислення N, Q та M виконується виходячи з рівнянь рівноваги. Зусилля N чисельно дорівнює алгебраїчній сумі на вісь стержня (на рис. 26 вісь x) всіх зовнішніх сил, що діють в частині тіла А або в частині тіла В. Аналогічно для визначення сили Q беруть суму проекцій всіх сил на вісь ортогональну до вісі стержня (на рис. 26 вісь y).

Якщо в поперечних перерізах стержня виникають лише повздовжні сили N, а Q та M дорівнюють нулю, то в межах поперечного перерізу в усіх точках нормальні напруження будуть однаковими, а дотичні напруження дорівнюватимуть нулю.

,

де F - площа поперечного перерізу тіла.

Якщо в поперечних перерізах тіла виникають лише деформації згину (,, а) нормальні і дотичні напруження будуть визначатися за формулами:

,

де y – координата вздовж осі y, що визначає розташування точки визначення напруження;

- момент інерції площі поперечного перерізу відносно центральної осі поперечного перерізу навколо якої діє момент М (на рис.26 - вісь z);

- статичний момент площічастини поперечного перерізу, яка знаходиться вище координати y

d– ширинапоперечного перерізу в місці визначення напруження