24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида y’f(x)*g(y) или уравнение вида f₁(x)g₁(y)dx+f₂(x)g₂(y)ddy=0. Заметим что первое уравнение можно привести к виду второго уравнения и наоборот. Так как y’=dy/dx=f(x)*g(y), то умножив две части уравнения на dx, будем иметь: dy=f(x)g(y)dx следовательно f(x)g(y)dx-dy=0. Теперь разделим на g₁(y)*f₂(x) и получим (f₁(x)*g₁(y)/g₁(y)*f₂(x))dx+(f₂(x)*g₂(y)/g₁(y)*f₂(x))dy=0 следовательно( f₁(x)/F₂(x))dx+(g₂(y)/g₁(y))dy=0 отсюда получаем общий интеграл уравнения S(f₁(x)/f₂(x))dx+S(g₂(y)/g₁(y))dy=C.

25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y’+P(x)y=f(x). Если в этом уравнении правая часть не равна 0, то оно называется линейным неоднородным, а если равна 0, то линейным однородным. Существует несколько методов интегрирования линейных дифференцированных уравнений первого порядка:

1)Метод подстановки (метод Бернулли): y=u(x)*v(x)

2)Метод вариации произвольной постоянной (метод Лагранжа): y’+P(x)y=f(x)

26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.

Числовым рядом или просто рядом называется выражениет9сумма) вида а₁+а₂+….+а_n+Ma_n. Числа а₁а₂-называются членами ряда, а_n-общим или n-ым членом ряда. Пусть а_n=1/n, тогда ряд 1+1/2+1/3+….+1/n…=M1/n (гармонический ряд); пусть a_n=1/n^a, тогда ряд 1+1/2^a+1/3^a+…+1/n^a+…=M1/n^a (обобщённый гармонический ряд); пусть a_n=aq^n-1, тогда ряд a+aq+aq²+….+aq^n-1+…=Maq^n-1 (ряд геометрической прогрессии). Из членов ряда 1 образуем числовую последовательность частных сумм s₁,S₂….S_n, где S_n=a₁+a₂+…a_n-сумма n первых членов ряда, которая называется n-й частичной суммой. Ряд 1 называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм имеет конечный предел,т.е. limS_n=S. В этом случае число S называется суммой ряда 1 и пишется так:a₁+a₂+…a_n=S. Ряд 1 называется расходящимся если последовательность его частичных сумм не имеет конечного предела. Расходящемуся ряду не приписывают никакой суммы.

27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.

Положительные ряды: ряды,для которых a_n>=0, n=1,2,3…пусть даны два положительных ряда: 1)a₁+a₂+…+a_n+…=Ma_n 2)b₁+b₂+…+b_n+..=Mb_n. Тогда1)из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда; 2)из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.

Знакочередующимся рядом называются ряды, у которого любые ряды стоящие члены имеют противоположные знаки. Такие ряды удобнее записывать в виде: a₁-a₂+a₃-a_n+….+(-1)_n-1*a_n+… Для определения сходимости знакочередующихся рядов существует весьма простой достаточный признак. Для того чтобы знакочередующиеся ряды сходились, достаточно, достаточно чтобы абсолютные значения его членов убывали и стремились к нулю при возрастании n. Таким образом,если a₁>=a₂>=a₃>=…. И lima_n=0, то знакочередующийся ряд сходится.Ряд называется абсолютно сходящимся если сходится ряд, составленный из абсолютныхвеличин его членов. Сходящийся ряд называется условно сходящимся, если ряд расходится.