17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.

Метод замены переменной-пусть требуется вычислить интеграл S f(x)dx, который не вычисляется непосредственно. Сделаем замену переменной x=g(t) где g(t)-дифференцируемая функция. Тогда dx=g’(t)dt и исходный интеграл приобритает вид S f(x)dx=S f(g(t))*g’(t)dt- эта формула называется формулой замены переменной в неопределённом интеграле.После вычисления интеграла в правой части этого равенства следует перейти от новой переменной интегрирования t к исходной переменной х.

Метод интегрирования по частям-пусть u=u(x) и v=v(x)- две дифференцируемые функции. По свойству дифференциала d(uv)=udv+vdu или udv=d(uv)-vdu. Интегрируя обе части последнего равенства и учитывая, что S d(uv),получаем: S udv=uv-S vdu- это формула интегрирования по частям. А)первая группа интегралов: S P(x)lnxdx; S P(x)arcsinxdx; S P(x)arccosxdx; S P(x)arctgxdx; S P(x)arcctg xdx; S P(x)lng(x)dx. Б)вторая группа: S P(x)e^kxdx, S P(x)sinkxdx, S P(x)coskxdx. В) третья группа: S e^axsinbxdx, S e^axcosbxdx, S sin(lnx)dx, S cos(lnx)dx.

18.Интегрирование простейших рациональных дробей.

Рациональной дробью называется дробь вида P_n(x)/Q_m(x), где P_n(x) и Q_m(x)- многочлены от переменной х степени m и n соответственно. Рациональная дробь называется правильной, если степень числителя меньше степени знаменателя,т.е. n<m, и неправильной-в противном случае (n>m). Простейшей рациональной дробью называется правильная дробь одного из следующих видов: 1)А/х-а; 2)А/(х-а)^к; 3)mx+n/x²+px+q; 4)mx+n/(x²+px+q)^k

Интегралы от рациональных дробей 1) 2) находятся методом замены переменной.

19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.

Если существует конечный предел интегральной суммы и он не зависит от спосаба разбиения отрезка [a,b]на частичные отрезки, ни от выбора точек z₁ в них, то это предел называется определённым интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b] и обозначается S_a^b f(x)dx.

Таким образом: S_a^b f(x)dx=lim Mf(z₁)x₁-в этом случае функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b] Числа a И b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f(x)-подынтегральной функцией, f(x)dx-подынтнгральным вырожением, х-переменной интегрирования, отрезок [a,b] называется промежутком интегрирования.

Геометрический смысл: пусть на отрезке [a,b] задана непрерывная неотрицательная функция y=f(x). Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком функции y=f(x), снизу-осью Oх, слева и справа-прямыми х=а и х=b

Свойства: 1)Значение определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования S_a^b f(x)dx= S_a^b f(z)dz=S_a^b f(t)dt=…; 2)определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю S_a^b f(x)dx=0; 3)S_a^b f(x)dx=-S_a^bf(x)dx; 4)постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла: S_a^b c*f(x)dx=с S_a^bf(x)dx;

5)определённый интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций: S_a^b(f(x)+-g(x))dx=S_a^bs(x)dx+-S_a^bg(x)dx; 6)если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b] и a<c<b, то S_a^bf(x)dx=S_a^bf(x)dx=S_a^cf(x)dx+S_c^bf(x)dx; 7)(теорема о среднем).Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] то на этом отрезке существует точка с принадлежащая [a,b] такая что S_a^bf(x)dx=f(c)*(b-a)