5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.

1)производной функции f(x) в точке х₀ называется число обозначаемое f^’(x₀) и равное f^’(x₀)=lim f(x)-f(x₀)/x-x₀ (1)

Так как x=x₀+дельта х, х-х₀=дельта х, то предел (1) может быть записан в виде

f’(x₀)=lim f(x₀+дельта х)-f(x₀)/дельта х=lim дельтаf (x₀)/дельта х.

2)Правой производной называется число

f’(x₀+0)=lim f(x)-f(x₀)/x-x₀=lim дельта f(x₀)/ дельта х=f^’₊(x₀). Аналогично определяется левая производная f^’(x₀-0)

Выясним геометрический смысл производной:

Пусть f(x)-непрерывная функция, определённая в некоторой окрестности точки х₀. Рассмотрим две точки А(х₀;f(х₀)) и В(х₁;f(х₁)), лежащие на графике функции f(x). Прямая АВ называется секущей линией АВ:х-х₀/х₁-х₀=y-f(x₀)/f(x₁)-f(x₀)

Пусть точка В стремится к точке А по графику функции f(x) тогда секущая АВ будет стремится занять своё предельное положение.

Предельное положение наз-ся касательной к графику f(x) в точке х₀. Касательная будет существовать если существует предел lim f(x₁)-f(x₀)/x₁-x₀=f’(x₀)

Уравнение касательной y=f’(x₀)(x-x₀)+f(x₀) следовательно k=f’(x₀)=tga следовательно с геометрической точки зрения производная функции в точке численного равна tga где а угол образованный касательной к графику функции f(x) вточке х₀, с положительным направлением оси Ох. Прямая перпендекулярна к касательной в точке Хо-наз-ся нормалью к₁к₂=-1

Уравнение нармали: y=-1/f(x)*(x-x₀)+f(x₀)

6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.

1)Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют производные в точке, то функции u+-v, uv, u/v(v(x)не=0) также имеют производные в этой точке, причём:

-(cu)’=cu’,c-число

-(u+-v)’=u’+-v’

-(uv)’=u’v+uv’

-(u/v)’=u’v-uv’/v²

2)если функция g(x) имеет производную в точке х₀, а функция f(y) имеет производную в точке у₀=g(x₀), то сложная функция f(g(x)) имеет производную в точке х₀

f’(x₀)=f’(y₀)*g’(x₀),y=g(x)

Основные производные:

1)c’=0 (с число)

2)x’=1

3)(x^a)’=ax^a-1(а-число)

4)(a^x)’=a^xlna, 0,a не =1

5)(e^x)’=e^x

6)(log_ax)’=1/xlna, 0,a не=1, x.0

7)(lnx)’=1/x,x.0

8)sinx)’=cosx

9)(cosx)’=-sinx

10)(tgx)’=1/cos²x

11)(ctgx)’=-1/sin²x

12)(arctgx)’=1/1+x²

13)(arcctgx)’=-1/1+x²

14)(arcsinx)’=1/корень (1-x²)

15)(arccosx)’=-1/корень (1-x²⁾

3)Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е.выражение, которое легко логарифмируется а также для нахождения производной степенно-показательной функции u(x)^v(x)

4)Функция наз-ся заданной неявно если она представлена в виде уравнения F(x;y)=0 т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится учитывая что у-функция (у³)’=3y²*y’

5)Второй производной от функции y=f(x) называется производная от её первой производной y’f’(x). Обозначается вторая производная следующим образом: y”,f”, d²y/dx², d²f/dx^2. Аналогично определяется производные третьего и более высоких порядков. Например производная сотого порядка обозначается как y^(`100) или d¹⁰⁰y/dx¹⁰⁰