- •1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.
- •2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.
- •4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.
- •6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.
- •7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00
- •8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
- •11Асимптомы графика функции
- •12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.
- •13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.
- •14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
- •15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.
- •20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.
- •21.Интегрирование по частям в определённом порядке.
- •22.Приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.
- •23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
- •24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
- •26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
- •28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
- •29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.
- •30.Ряды Тейлора и маклорена.
10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
1)Функция f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a;b), если для любых точек х1, х2 принадлежищих (a;b), a<=x1<x2<=b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции т.е. если f(x)<=(x)
2) Функция f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a;b), если для любых точек х1, х2 принадлежищих (a;b), a<=x1<x2<=b хорда АВ лежит не выше графика этой функции т.е. если f(x)>=y(x)
Достаточное условие выпуклости- если f(x)- дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a;b) и: 1)f''(x)>0 и x принадлежит (a:b) то на (a:b) функция f(x) выпукла вниз. 2)f’’(x)<0 и x принадлежит (a;b) то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх. Точка х0 называется точкой перегиба функции f(x), если b-окрестность точки x0, что для всех х принадлежит(х0-b, х0) график функции находится с одной стороны касательной а для всех ч принадлежит (х0,х0+b)-с другой сторонеы касательной, проведённой к графику функции f(x) в точке х0 т.е. точка х0-точка перегиба функции f(x) если при переходе через точку х0 функция f(x) меняет характер выпуклости:
Необходимое условие существования точки перегиба- если функция f(x) имеет непрерывную в точке х0 производную f’’ и х0-точка прегиба то f’’(x0)=0
Достаточное условие перегиба-если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х0 и при переходе через точку х0 производная f’’(x) меняет знак, то точка х0 является точкой перегиба функции f(x)
11Асимптомы графика функции
Прямая х=х0 называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) если хотя бы один из пределов f(x0-0) или f(x0+0) равен бесконечности
Прямая y=kx+b назщывается наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(x) при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, если f(x)=kx+b+a(x), lim a(x)=0 т.е. если наклонная асимптота для графика функции f(x) существует, то тразность ординат функции f(x) и прямой у=kx+b в точке х стремится к 0 при х стремящемся к + бесконечности или при х стремящемся к – бесконечности.
Для того чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, необходимо и достаточно существование конечных пределов
Lim f(x)/x=k: lim (f(x)-kx)=b
12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.
Схема построения графика: 1)Находим область определения функции 2)исследуем функцию на переодичность, чётность, нечётность 3)исследуем функцию на монотонность и экстремум 4)находим промежутки выпуклости и точки перегиба 5)находим асимптомы графика функции 6)находим точки пересечения графика функции с осями координат 7)строим график
13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.
Число А называется пределом функции при х стремящемся к х0, у стремящемся к у0 (или в точке М0(х0, у0)), если для любого сколь угодно малого положительного числа е>0 существует b=b(e)>0 (зависящее от е) такое, что для всех х не=х0, у не=у0, удовлетворяющих неравенству корень (х-х0)2+(у-у0)2<b, выполняется неравенство |f(x,y)-A|<e. Обозначается предел следующим образом: lim f(x,y)=A или lim f(x,y)=A
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M (x0,y0), если 1) f(x,y) определена в точке M0(x0,y0) и её окрестности; 2)имеет конечный предел lim f (x,y); 3)этот предел равен значению функции в точке M0(x0,y0) т.е. f(x,y)=f (x0,y0)
Функция z=f(x,y) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например функция z=3/xy имеет две линии разрыва: ось Ох (у=0) и ось Оу(х=0)