- •1.Действия с матрицами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.
- •2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
- •3. Миноры и алгебраические дополнения. Вычисление определителей с помощью формул разложения.
- •4. Обратная матрица и её вычисление.
- •5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.
- •6. Системы линейных алгебраических уравнений. Матричный способ решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •7. Теорема Кронекера-Капелли о совместности системы линейных алгебраических уравнений.
- •8. Формулы Крамера решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •9. Метод Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.
- •10. Скалярные и векторные величины. Линейные операции операции с векторами.
- •11.Понятие базиса на плоскости и в пространстве. Ортонормированные базисы на плоскости и в пространстве. Координаты вектора в базисе.
- •12. Скалярное произведение. Координатная форма скалярного произведения.
- •13.Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.
- •14. Смешанное произведение. Координатная форма смешанного произведения.
1.Действия с матрицами: умножение на число, сложение, вычитание, умножение матриц. Свойства операций над матрицами.
Сложение матриц:
Вычитание и сложение матриц сводится к соответствующим операциям над их элементами. Операция сложения матриц вводится только для матриц одинакового размера, т. е. для матриц, у которых число строк и столбцов соответственно равно. Суммой матриц А и В, называется матрица С, элементы которой равны сумме соответствующих элементов. С = А + В cij = aij + bij Аналогично определяется разность матриц.
Умножение матрицы на число:
Операция умножения (деления) матрицы любого размера на произвольное число сводится к умножению (делению) каждого элемента матрицы на это число. Произведением матрицы А на число k называется матрица В, такая что
bij = k × aij. В = k × A bij = k × aij. Матрица - А = (-1) × А называется противоположной матрице А.
Свойства сложения матриц и умножения матрицы на число:
Операции сложения матриц и умножения матрицы на число обладают следующими свойствами: 1. А + В = В + А; 2. А + (В + С) = (А + В) + С; 3. А + 0 = А; 4. А - А = 0; 5. 1 × А = А; 6. α × (А + В) = αА + αВ; 7. (α + β) × А = αА + βА; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , где А, В и С - матрицы, α и β - числа.
Умножение матриц (Произведение матриц):
Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Произведением матрицы Аm×n на матрицу Вn×p, называется матрица Сm×p такая, что сik = ai1 × b1k + ai2 × b2k + ... + ain × bnk, т. е. находиться сумма произведений элементов i - ой строки матрицы А на соответствующие элементы j - ого столбца матрицы В. Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведения АВ и ВА всегда существуют. Легко показать, что А × Е = Е × А = А, где А квадратная матрица, Е - единичная матрица того же размера.
Свойства умножения матриц:
Умножение матриц не коммутативно, т.е. АВ ≠ ВА даже если определены оба произведения. Однако, если для каких - либо матриц соотношение АВ=ВА выполняется, то такие матрицы называются перестановочными. Самым характерным примером может служить единичная матрица, которая является перестановочной с любой другой матрицей того же размера. Перестановочными могут быть только квадратные матрицы одного и того же порядка. А × Е = Е × А = А
Умножение матриц обладает следующими свойствами: 1. А × (В × С) = (А × В) × С; 2. А × (В + С) = АВ + АС; 3. (А + В) × С = АС + ВС; 4. α × (АВ) = (αА) × В; 5. А × 0 = 0; 0 × А = 0; 6. (АВ)Т = ВТАТ; 7. (АВС)Т = СТВТАТ; 8. (А + В)Т = АТ + ВТ;
2. Определители 2-го и 3-го порядков. Свойства определителей.
Определителем матрицы второго порядка, или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Определителем матрицы третьего порядка, или определителем третьего порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:
Это число представляет алгебраическую сумму, состоящую из шести слагаемых. В каждое слагаемое входит ровно по одному элементу из каждой строки и каждого столбца матрицы. Каждое слагаемое состоит из произведения трех сомножителей.
Знаки, с которыми члены определителя матрицы входят в формулу нахождения определителя матрицы третьего порядка можно определить, пользуясь приведенной схемой, которая называется правилом треугольников или правилом Сарруса. Первые три слагаемые берутся со знаком плюс и определяются из левого рисунка, а последующие три слагаемые берутся со знаком минус и определяются из правого рисунка.
Определить количество слагаемых, для нахождения определителя матрицы, в алгебраической сумме, можно вычислив факториал: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 × 2 × 3 = 6
Свойства определителей матриц
Свойства определителей матриц:
Свойство № 1:
Определитель матрицы не изменится, если его строки заменить столбцами, причем каждую строку столбцом с тем же номером, и наоборот (Транспонирование). |А| = |А|Т
Следствие:
Столбцы и строки определителя матрицы равноправны, следовательно, свойства присущие строкам выполняются и для столбцов.
Свойство № 2:
При перестановке 2-х строк или столбцов определитель матрицы изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину, т.е.:
Свойство № 3:
Определитель матрицы, имеющий два одинаковых ряда, равен нулю.
Свойство № 4:
Общий множитель элементов какого-либо ряда определителя матрицы можно вынести за знак определителя.
Следствия из свойств № 3 и № 4:
Если все элементы некоторого ряда (строки или столбца) пропорциональны соответствующим элементам параллельного ряда, то такой определитель матрицы равен нулю.
Свойство № 5:
Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя матрицы равны нулю, то сам определитель матрицы равен нулю.
Свойство № 6:
Если все элементы какой–либо строки или столбца определителя представлены в виде суммы 2-х слагаемых, то определитель матрицы можно представить в виде суммы 2-х определителей по формуле:
Свойство № 7:
Если к какой–либо строке (или столбцу) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель матрицы не изменит своей величины.
Пример применения свойств для вычисления определителя матрицы: