12. Скалярное произведение. Координатная форма скалярного произведения.

Скалярным произведением двух векторов иназывается число S =|| || сos (). Эта операция обозначается.В частности, скалярный квадрат вектора равен квадрату его длины, т.е.. Если один из перемножаемых векторов единичный, то:

.

В этом случае результат представляет собой проекцию вектора на направление единичного вектора . Следовательно, любой вектор можно представить как, где- проекции вектора соответственно на оси 0х, 0у и 0z.

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда

, т.е. .

Если вектор представлен через проекции на базисные векторы, то говорят о разложении вектора по ортогональному базису. Из рисунка видно, что в этом случае вектор является главной диагональю прямоугольного параллелепипеда, ребра которого параллельны осям координат и равны длинам проекций вектора на эти оси. Из этого же рисунка следует, что модуль вектора численно будет равен

.

Из определения скалярного произведения следует, что любой вектор, независимо от типа, можно представить в виде:

,

где ,иесть скалярное произведение вектора с ортами осей координат. Тогда из последнего равенства имеем

где ,  и  - углы, которые составляет вектор соответственно с осями 0х, 0у и 0z.

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы ортогональны. Действительно, если ни один из векторов не нулевой, то, по определению скалярного произведения, последнее может быть равно нулю только тогда, когда , т.е..

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

Скалярное произведение векторов в координатной форме

.

13.Векторное произведение. Координатная форма векторного произведения.

Под векторным произведением векторов и понимают вектор, имеющий длину и направленный перпендикулярно к плоскости,определяемой векторами и , причем так, что векторы ,иобразуютправую тройку векторов (длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и как на сторонах (это геометрический смысл векторного произведения).

Векторное произведение обозначают: или. Очевидно, что(из определения векторного произведения).. Векторное произведение подчиняется только распределительному закону:

.

Теорема. Пусть ,,. Тогда:

1) ;

2) .

Доказательство. 1) Используем свойстволинейностивекторногопроизведения:

 

.

   Далее, заметим, что векторные произведения коллинеарных векторов равны нулевому вектору:

                  .

Рассмотрим другие векторныепроизведения базисных векторов:

                      

                                            рис.4.

, ,.

Эти равенства легко устанавливаются с помощьюрис.4.

Отсюда следует:

, ч.т.д.

2) Воспользуемся только что доказанной формулой:

        .

Теперь, по теореме о скалярном произведении векторов в координатной форме, получаем:

, ч.т.д.

Теорема доказана.

Замечание. Векторное произведениечасто записывают в форме определителя:

                          .

Разумеется это не определитель, а лишь форма записи векторногопроизведения. Она компактна и удобна для запоминания.

Следствие. Определитель не изменяется при круговой перестановке строк (столбцов) определителя. При транспозиции двухстрок (столбцов) определитель меняет знак.

   Доказательство. С одной стороны,

                  .

С другой стороны,

                  .

Но, , откуда и следует утверждение. Далее, т.к., то

               .

Так как определитель не изменяется при транспонировании, то доказанное свойствосправедливо и для столбцов определителя.