14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.

Частной производной функции двух переменных- по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению данной переменной, когда последнее стремится к нулю (если этот предел существует). Обозначсается частная производная так: z_x’,z_y’ или f’_x(x,y), f’_y(x,y).

Полным дифференциаломффункции z=f(x,y) называется сумма произведений частных производных этой функции на приращения соответствующих независимых переменных,т.е. dz=z’_xx+z’_yy. При нефиксированных х,у,: dx=x, dy=y,а формулу полного дифференциала можно записать в виде: dz=z’_xdx+z’_ydy или dz=(dz/dx)*dx+(dz/dy)*dy

Частными производными второго порядка функции z=f(x,y) называются частные производные от частных производных первого порядка. Частные производные второго порядка четыре. Они обозначаются следующим образом:

1)Z’’_xx=(z_x’)’_x или d²z/dx²=d/dx*(dz/dx)

2)z’’_xy=(z_x’)’_y или d²z/dydx=d/dy8(dz/dx)

3)z’’_yx=(z’_y)’_x или d²z/dxdy=d/dx*(dz/dy)

4)z’’_yy=(z’_y)’_y или d²z/dy²=d/dy(dz/dy)

Аналогично определяются частные производные 3-го , 4-го и более высоких порядков. Частные производные второго или более высокого порядка,взятые по различным переменным, называются смешанными частными производными.

15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Точка М₀(х₀,у₀) называется точкой минимума (максимума) функции z=f(x,y) если существует такая окрестность точки М₀, что для всех точек М(х,у) из этой окрестности выполняется неравенство f(x₀,у₀)<f(x,y),(f(x₀,у₀)>f(x,y). Точки минимума и максимума функции z=f(x,y) называются точками экстремума,а значения функции в точке М₀ сравнивается с её значениями в точках, достаточно близких к М₀.

1)Необходимые условия экстремума-если М₀(х₀,у₀)- точка экстремума дифференцируемой функции z=f(x,y), то уё частные производные z_x’ и z_y’ в этой точке равны нулю: z_x’(x₀,у₀)=0 z_y’(x₀,у₀)=0 Точки в которых частные производные первого порядка равны нулю, наз-ся критическими или стационарными. В критических точках функция z=f(x,y) может иметь экстремум а может и не иметь его.

2)Достаточное условие экстремума- пусть функция z=f(x,y) : а)определена в некоторой окрестности критической точки М₀(х₀,у₀), в которой z_x’(x₀,у₀)=0 и z_y’(x₀, y₀)=0 б)имеет непрерывные частные производные второго порядка z_xx’’(x₀, y₀)=A; z_xy’’(x₀, y₀)=B; z_yy’’(x₀, y₀)=C. Тогда если дельта= АС-В²>0 ,то функция z=f(x,y) в точке М₀(х₀,у₀) экстремума не имеет. В случае дельта=АС-В²=0 вопрос о наличии экстремума остаётся открытым.

16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a,b) и для любого x принадлежащего (a,b) выполняется равенство F’(x)=f(x)

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x) на интервале (a,b), то множество всех первообразных для f(x) задаётся формулой F(x)+C, где С-произвольная постоянная.

Множество всех первообразных функций F(x)+C для функции f(x) на интервале (a,b) называется неопределённым интегралом от функции f(x) на этом интервале и обозначается символом S f(x)dx, где S-знак интеграла; f(x)-подынтегральная функция; f(x)dx- подынтегральное выражение; х-переменная интегральная. Таким образом S f(x)dx=F(x)+C,где F(x)-некоторая первообразная для f(x) на интервале (a,b). С-произвольная постоянная.

СВОЙСТВА: 1)производная от неопределённого интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: (S f(x)dx)’=f(x); d(S f(x)dx)=f(x)dx. 2)неопределённый интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной: S dF(x)=F(x)+C. 3)постоянный множитель можно выносить за знак неопределённого интеграла: S cf(x)dx=с S f(x)dx, c-const. неопределённых интегралов: S (f(x)+-g(x)dx= S f(x)dx+-S g(x)dx. 5)если S f(x)dx=F(x)+C, а u=f(x)- произвольная функция, имеющая непрерывную производную , то S f(u)du=F(u)+c.

ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ:

1)S0*dx=C; 2)S18dx=Sdx=x+C;3)Sx^adx=x^a+1/a+1 +C; 4)S dx/x=ln|x|+C; 5)S a^xdx=a^x/lna +C; 6)Se^xdx= e^x+C; 7)S sinxdx=-cosx+Сж8)S cos xdx= sinx+С 9) S dx/cos²x=tg+C; 10)S dx/sin²x=-сtgx+C; 11)S dx/корень 1-x²= arcsinx+C; 12)Sdx/корень a²-x²=arcsinx/a+C; 13)S dx/корень x²+-a²=ln|x+корень x²+-a²|+c; 14) S dx/1+x²=arctgx+C; 15) S dx/a²+x²=1/a arctgx/a+C; 16)S dx/x²-a²=1/2a ln |x-a/x+a|+C.