20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.

Формула- если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x)-какая либо её первообразная на этом отрезке, то справедливо следующая формула: S_a^bf(x)dx=F(x)^b_a=F(b)-F(a)- формула ньютона-лопиталя.

Замена переменной- пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда если: 1)функция x=g(t) и её производная g’(t) непрерывна при t [a,b]; 2)множеством значений функции x=gt) при t[a,b]; 3) g(a)=a g(b)=b, то справедлива формула S_a^bf(x)dx=S_a^bf[g(t)]*g’(t)dt-формула замены переменной в определённом интеграле.

21.Интегрирование по частям в определённом порядке.

Пуст функция u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b] тогда имеет место следующая формула интегрирования по частям. S_a^budv=uv|_a^b-S_a^bvdu.

22.Приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.

Площадь криволинейной трапеции: пусть функция y=f(x) неотрицательна и непрерывна на отрезке [a,b]. Тогда согласно геометрическому смыслу определённого интеграла, площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком этой функции, снизу-осью Ох, слева и справа-прямыми х=a и х=b s=S_a^bF(x)dx/

Объём тела вращения: пусть криволинейная трапеция,ограниченная графиком непрерывной на отрезке [a,b] функции y=f(x) ,осью Ох, прямыми х=a и х=b, вращается вокруг оси Ох. Тогда объём полученного тела вращения вычисляется по формуле: V_x=пS_a^bf²(x)dx=пS_a^by²dx.

Длина дуги плоской кривой: пусть кривая АВ, заданная уравнением y=f(x) где a<=x<=b, лежит в плоскости Оху. Под длиной дуги Ав понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу,когда число звеньев ломанной стремиться к бесконечности, а длина наибольшего звена стремится к нулю. Если функция y=f(x) и её производная y’=f’(x) непрерывна на отрезке [a,b]? То длина дуги кривой Ав вычисляется по формуле: L=S_a^bкорень 1+(f’(x))²*dx=S_a^bкорень1+y²*dx

23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.

Уравнение F(x,y,y’,yⁿ….,у⁽ⁿ⁾)=0, связывающее независимую переменную х, неизвестную функцию у=у(х) и её производные у’,yⁿ…y⁽ⁿ⁾ (наличие хотя бы одной производной обязательно), называются дифференциальным уравнением: yⁿ=f(x,y,y’,….y^(n-1). Дифференцированное уравнение, в котором неизвестная функция у зависит от одной переменной х, называется обыкновенным (ОДУ). Если же дифференциальное уравнение содержит неизвестную функцию нескольких переменных и её частные производные, то оно называется уравнением в частных производных. Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной, входящей в уравнение.

Решением дифференциального уравнения n-го порядка называется любая функция, которая задана на промежутке, имеет на этом промежутке производную порядка n и обращает уравнение в верное равенство в каждой точке данного промежутка.

График решения дифференцированного уравнения называется интегральной кривой. Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения. Решение может быть задано в неявном виде Ф(х,у)=0. В этом случае его называют интегралом дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения называется функция y=g(x₁,С₁,С₂….С_n)

Общий интеграл: Ф(х,у,С₁,С₂….С_n)

Частное решение дифференциального уравнения: y=g(x,C₁⁰,С₂⁰….С_n⁰).

Частный интеграл: Ф(х,у, С₁⁰,С₂⁰….С_n⁰)=0