10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.

1)Функция f(x) называется выпуклой вниз (вогнутой) на интервале (a;b), если для любых точек х₁, х₂ принадлежищих (a;b), a<=x₁<x₂<=b хорда АВ лежит не ниже графика этой функции т.е. если f(x)<=(x)

2) Функция f(x) называется выпуклой вверх (выпуклой) на интервале (a;b), если для любых точек х₁, х₂ принадлежищих (a;b), a<=x₁<x₂<=b хорда АВ лежит не выше графика этой функции т.е. если f(x)>=y(x)

Достаточное условие выпуклости- если f(x)- дважды непрерывно дифференцируема на интервале (a;b) и: 1)f''(x)>0 и x принадлежит (a:b) то на (a:b) функция f(x) выпукла вниз. 2)f’’(x)<0 и x принадлежит (a;b) то на (a;b) функция f(x) выпукла вверх. Точка х₀ называется точкой перегиба функции f(x), если b-окрестность точки x₀, что для всех х принадлежит(х₀-b, х₀) график функции находится с одной стороны касательной а для всех ч принадлежит (х₀,х₀+b)-с другой сторонеы касательной, проведённой к графику функции f(x) в точке х₀ т.е. точка х₀-точка перегиба функции f(x) если при переходе через точку х₀ функция f(x) меняет характер выпуклости:

Необходимое условие существования точки перегиба- если функция f(x) имеет непрерывную в точке х₀ производную f’’ и х₀-точка прегиба то f’’(x₀)=0

Достаточное условие перегиба-если функция f(x) дважды непрерывно дифференцируема в окрестности точки х₀ и при переходе через точку х₀ производная f’’(x) меняет знак, то точка х₀ является точкой перегиба функции f(x)

11Асимптомы графика функции

Прямая х=х₀ называется вертикальной асимптотой графика функции f(x) если хотя бы один из пределов f(x₀-0) или f(x₀+0) равен бесконечности

Прямая y=kx+b назщывается наклонной асимптотой графика непрерывной функции f(x) при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, если f(x)=kx+b+a(x), lim a(x)=0 т.е. если наклонная асимптота для графика функции f(x) существует, то тразность ординат функции f(x) и прямой у=kx+b в точке х стремится к 0 при х стремящемся к + бесконечности или при х стремящемся к – бесконечности.

Для того чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х стремящемся к + бесконечности или х стремящемся к – бесконечности, необходимо и достаточно существование конечных пределов

Lim f(x)/x=k: lim (f(x)-kx)=b

12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.

Схема построения графика: 1)Находим область определения функции 2)исследуем функцию на переодичность, чётность, нечётность 3)исследуем функцию на монотонность и экстремум 4)находим промежутки выпуклости и точки перегиба 5)находим асимптомы графика функции 6)находим точки пересечения графика функции с осями координат 7)строим график

13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.

Число А называется пределом функции при х стремящемся к х₀, у стремящемся к у₀ (или в точке М₀(х₀, у₀)), если для любого сколь угодно малого положительного числа е>0 существует b=b(e)>0 (зависящее от е) такое, что для всех х не=х_0, у не=у₀, удовлетворяющих неравенству корень (х-х₀)²+(у-у₀)²<b, выполняется неравенство |f(x,y)-A|<e. Обозначается предел следующим образом: lim f(x,y)=A или lim f(x,y)=A

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в точке M (x₀,y₀), если 1) f(x,y) определена в точке M₀(x₀,y₀) и её окрестности; 2)имеет конечный предел lim f (x,y); 3)этот предел равен значению функции в точке M₀(x₀,y₀) т.е. f(x,y)=f (x₀,y₀)

Функция z=f(x,y) называется непрерывной в некоторой области, если она непрерывна в каждой точке этой области. Точки, в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. В некоторых функциях точки разрыва образуют целые линии разрыва. Например функция z=3/xy имеет две линии разрыва: ось Ох (у=0) и ось Оу(х=0)