7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00

Правило Лопиталя-пусть функция f(x) и g(x) имеют производные в окрестности точки х_о тогда: 1)если lim f(x)= lim g(x)=бесконечность, то limf(x)/g(x)=(бесконечность/бесконечность)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний предел существует. 2)если lim f(x)=lim g(x)=0, то lim f(x)/g(x)= (0/0)= lim f’(x)/g’(x), при условии что последний существует.

Следовательно если мы имеем неопределённости бесконечность/бесконечность, 0/0, воспользоваться правилом Лопиталя означает найти производные числителя и знаменателя, а затем вычислить новый предел.

Пример lim sin4x/x=(0/0)=lim(sin4x)’/x= lim4cos4x/1=4*cos0=4*1=4

3)0*бесконечность, пусть f стремиться к 0, g стремиться к бесконечности, тогда fg=f/ (1/g)= (0/0)=g/(1/f)= (бесконечность/бесконечность), т.е. мы свели данную неопределённость к 0/0 или бесконечность/бесконечность, после чего можно применять правило Лопиталя

4)бесконечность-бесконечность . Пусть f стремиться к бесконечности, g стремиться к бесконечности, тогда f-g=1/(1/f)- 1/(1/g)=(1/g)-(1/f)/(1/f)*(1/g)=(0/0)

5)1^{бесконечность},0⁰, бесконечность⁰. Данные неопределённости также сводятся к неопределённостям бесконечность/бесконечность или 0/0 . для этого можно воспользоваться формулой f^g=e^infg=eglnf, f>0. Так, если f стремиться к 1, g стремиться к бесконечности, то получаем неопределённость 0*бесконечность (так как ln1=0), после чего можно получить бесконечность/бесконечность или 0/0

8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.

Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если ее приращение в этой точке можно представить в виде дельта y=f(x₀+дельтаx)-f(x₀)=A*дельтаx+a(дельтаx)

Для того чтобы функция f(x) была дифференцируемой в точке х₀, необходимо и достаточно, чтобы в точке х₀ существовала произвлдная f’(x)=A.

F(x₀+дельтаx)-f(х₀)=f’(x₀)*дельтаx+a(дельтах)

Функция f’(x₀)*дельтаx есть главная линейная часть приращения функции f(x) в точке х₀.Эту главную линейную часть приращения функции f(x) и называется дифференциалом функции f(x) в точке х₀ и обозначают df(x₀)=f’(x₀)*дельтаХ, в частности для f(x)=x имеем df=dx=1*дельтаХ=дельтаХ, следовательно df(x₀)=f’(x₀)dx

Для дифференциалов функций f и g справедливы формулы, подобные формулам для производных функций:

1)d(f+g)=df+dg

2)d(f*g)=g*df+f*dg

3)d(f/g)=(gdf-fdg)/g²

Данные формулы будут широко применяться при вычислении интегралов функций. С помощью дифференциала можно также приближенно вычислить значения функции f для ч, близких к x₀, Так как отбросив бесконечно малую функцию в формуле 2, получаем: f(x₀+дельтаХ)=f(x₀)+f’(x₀)дельтаХ

9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.

Пусть задана функция y=f(x) на множестве Х и х₀-внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(x₀) окрестность точки х₀.В точке х₀ функция f(x) имеет локальный максимум, если существует такая окрестность U(x₀) точки х₀, что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(x)<=f(x₀).

Точки локальных максимума и минимума называются точки локальных экстремумов, а значения функции в них-локальными экстремумами функции.Пусть функция f(x) определена на отрезке[a,b] и имеет локальный экстремум на каком0то из концов этого отрезка.Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для точки а и левой для точки b полуокрестностью.

Критическими точками , т.е. точки подозрительные на экстремум функции на интервале [a,b] , являются точки,в которых производная существует и равна 0 либо она не существует или равна бесконечности.

Первое достаточное условие экстремума-пусть непрерывная функция диффиринцируема в некоторой проколотой окрестности U(x₀) точки х₀, тогда: 1)если f’(x)>0 при х<x_0, х принадлежит U(х₀) и f’(x)<0 при х>x₀, x принадлежит U(x₀), то в точке х₀-локальный максимум

2)если f’(x)<0 при x<x₀ х принадлежит U(x₀) и f’(x)>0при x>x₀ x принадлежит U(x₀), то в точке х₀ локальный минимум.

Функция называется n раз непрерывно-дифференцируемой на некотором промежутке, если на этом промежутке она имеет непрерывные производные до порядка n включительно (n=0,1,2,….)

Второе достаточное условие экстремума- пусть функция f(x) дважды непрерывно-дифференцируема. Если х₀-стационарная точка (f’(x₀)=0) в которой f’’(x₀)>0, то в точке х₀ функция имеет локальный минимум. Если же f’’(x₀)< 0 то в точке х₀ функция имеет локальный максимум.