3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.

Первый замечательный предел-

lim sinx/x=1 или lim x/sinx=1. Учитывая что cos0=1 имеем также что lim tgx/x=1 или lim x/tgx=1

второй замечательный предел-

lim(1+1/x)^x=e или lim(1+x)^1/x=e

Примеры: a)lim sin4x/x=(0/0)=lim sin4x/4x*4=1*4,т.к. lim sin4x/4x=1

б) lim sin6x/sin4x-(0/0)=lim sin6x/6x*6x*4x/sin4x*1/4x=6/4=3/2 т.к. lim sin6x/6x=1, lim4x/sin4x=1

в) lim (1+3x)^1/x= lim(1+3x)^1/3x*3=e³ т.к. lim(1+3x)^1/3x=e

г)lim(3x-1/3x+1)^3x=(1^{бесконечность})=lim ((3x+1)-2/3x+1)^3x= lim(1+(-2)/3x+1)^3x=lim(1+9-2)/3x+1)^{3x+1/-2 * -2/3x+1 *3}=e^lim-6x/3x+1=e^-2

первый замечательный предел функции

lim sinx/х=1

lim x/sinx=1

пример: lim sin6x/x=lim 6*sin6x/6x= 6*1=6 (т.к. sin6x/6x=1)

второй замечательный предел функции:

lin(1+1/x)^x=e

lim (1+x)^1/x=e

Пример: lim (1+5x)^7/x=(1^{бесконечность})= (1+5х/1)^7/х= (1+5х/1)^{1/5х * 5х/1 * 7/х} =e³⁵ (т.к. (1+5х/1)^1/5х= е)

4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.

Непрерывность функции в точке

1)Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности. 2)существует конечный предел функции в точке х_о. 3)этот предел равен значению функции в точке х_о, т.е. lim f(x)= f(x₀)

2) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности. 2)существуют конечные односторонние пределы lim f(x)=f(x₀-0) и lim f(x)=f(x₀+0). 3)эти пределы равны между собой и равны значению функции в точке х₀, т.е. lim f(x)-lim f(x)=f(x₀)

3) Функция у=f (х) называется непрерывной в точке х_о, если выполнены следующие три условия: 1)функция определена в точке х_о и её окрестности.2) бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim y= lim (f(x₀+x)-f(x₀))=0

Свойства:

1. Если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке х_о, то функции f(x)+-g(x), c*f(x) (с-постоянная), f(x)*g(x) и f(x)/g(x) (при условии что g(x₀) не = 0) также непрерывна в точке х_о

2. Если функция u=q (x) непрерывна в точке х_о, а функция у=f(u) непрерывна в точке u₀=q(x₀), то сложная функция у=f(q(x)) непрерывна в точке х_о

Непрерывнасть функции на отрезке

Функция у=f(x) наз-ся непрерывной на отрезке [a;b] , если она непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке а непрерывна справа, т.е. lim f(x)=f(a), а в точке b непрерывна слева, т.е. lim f(x)=f(b))

Свойства функций, непрерывных на отрезке:

1.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке (первая теорема Вейерштрасса)

2.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то на этом отрезке она достигает достигает своего наименьшего значения m и наибольшего значения М (вторая теорема Вейерштрасса)

3.если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и на его концах принимает значения разных знаков то внутри отрезка существует хотя бы одна точка такая что функция=0 (теорема Больцано-коши)

Точки разрыва функции и их классификация: точки в которых условие непрерывности не выполняется, называются точками разрыва этой функции. Если х_о-точка разрыва функции y=f(x) то в ней не выполняется хотя бы одно из трёх условий непрерывности функции.

Классификация: 1)точка х_о наз-ся точкой разрыва первого рода функции y=f(x) , если в этой точке существуют конечные пределы f(x₀-0) и f(x₀+0), но они не равны между собой f(x₀-0) не= f(x₀+0). Величина |f(x₀+0)-f(x₀-0)| называется при этом скачком функции y=f(x) в точке х₀.

2) Точка х₀ называется точкой устранимого разрыва функции y=f(x), если в этой точке существуют конечные пределы f(x₀-0) и f(x₀+0), они равны между собой: f(x₀-0)=f(x₀+0) но сама функция y=f(x) не определена в точке х₀ или определена но f(x₀-0)=f(x₀+0)не=f(x₀)

3)Точка х₀ называется точкой разрыва второго рода функции y=f(x) если в этой точке хотя бы один из односторонних пределов (f(x₀-0)не=f(x₀+0)) не существует или равен бесконечности.