- •1.Определение числовой последовательности и её предела. Св-ва сход-ся послед-ей.
- •2.Предел функции одной переменной в точке. Односторонние пределы.Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •3.Основные правила вычесления пределов. Замечательные пределы.
- •4Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификация.
- •5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.
- •6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.
- •7.Правила лопиталя для раскрытия неопределённостей вида 0/0 и бесконечность/бесконечность. Раскрытие неопределённостей вида 0*бесконечность, бесконечность-бесконечность, 1бесконечность, 00
- •8.Дифференциал функции.Связь дифференциала и производной.Использование дифференциала в приближенных вычислениях.
- •9.Исследование на монотонность функции одной переменной. Точки экстремума. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •10.Исследование функции на выпуклость и вогнутость. Точки перегиба.
- •11Асимптомы графика функции
- •12Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.Общая схема исследования функции и построения графика.
- •13Понятие функции нскольких независимых переменных. Предел функции двух переменных. Непрерывность.
- •14.Частные производные функции двух независимых переменных.Полный дифференциал. Частные производные высших порядков.
- •15.Экстремумы функции двух независимых переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума.
- •16Неопределённый интеграл и его свойства. Таблица основных неопределённых интегралов.
- •17.Замена переменной в неопределённом интеграле. Интегрирование по частям.
- •18.Интегрирование простейших рациональных дробей.
- •19.Определённый интеграл и его свойства.Геометрический смысл определённого интеграла.
- •20.Формула Ньютона-Лейбница.Замена переменной в определённом интеграле.
- •21.Интегрирование по частям в определённом порядке.
- •22.Приложения определённого для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых.
- •23.Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решение. Дифференциальное уравнение первого порядка. Задача Коши.
- •24.Дифференциальное уравнение с раздельными и разделяющимися переменными. Общее решение.
- •25.Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.Общее решение.
- •26.Числовые ряды.Сходимость.Необходимый признак сходимости числового ряда.
- •27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов.
- •28.Знакочередующиеся ряды.Абсолютная и условная сходимость.Достаточный признак Лейьница.
- •29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.
- •30.Ряды Тейлора и маклорена.
5.Производная функция, её геометрический и экономический смысл.
1)производной функции f(x) в точке х0 называется число обозначаемое f’(x0) и равное f’(x0)=lim f(x)-f(x0)/x-x0 (1)
Так как x=x0+дельта х, х-х0=дельта х, то предел (1) может быть записан в виде
f’(x0)=lim f(x0+дельта х)-f(x0)/дельта х=lim дельтаf (x0)/дельта х.
2)Правой производной называется число
f’(x0+0)=lim f(x)-f(x0)/x-x0=lim дельта f(x0)/ дельта х=f’+(x0). Аналогично определяется левая производная f’(x0-0)
Выясним геометрический смысл производной:
Пусть f(x)-непрерывная функция, определённая в некоторой окрестности точки х0. Рассмотрим две точки А(х0;f(х0)) и В(х1;f(х1)), лежащие на графике функции f(x). Прямая АВ называется секущей линией АВ:х-х0/х1-х0=y-f(x0)/f(x1)-f(x0)
Пусть точка В стремится к точке А по графику функции f(x) тогда секущая АВ будет стремится занять своё предельное положение.
Предельное положение наз-ся касательной к графику f(x) в точке х0. Касательная будет существовать если существует предел lim f(x1)-f(x0)/x1-x0=f’(x0)
Уравнение касательной y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) следовательно k=f’(x0)=tga следовательно с геометрической точки зрения производная функции в точке численного равна tga где а угол образованный касательной к графику функции f(x) вточке х0, с положительным направлением оси Ох. Прямая перпендекулярна к касательной в точке Хо-наз-ся нормалью к1к2=-1
Уравнение нармали: y=-1/f(x)*(x-x0)+f(x0)
6.Правила дифференцирования функций. Логарифмическое дефференцирование. Производные высших порядков.
1)Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют производные в точке, то функции u+-v, uv, u/v(v(x)не=0) также имеют производные в этой точке, причём:
-(cu)’=cu’,c-число
-(u+-v)’=u’+-v’
-(uv)’=u’v+uv’
-(u/v)’=u’v-uv’/v2
2)если функция g(x) имеет производную в точке х0, а функция f(y) имеет производную в точке у0=g(x0), то сложная функция f(g(x)) имеет производную в точке х0
f’(x0)=f’(y0)*g’(x0),y=g(x)
Основные производные:
1)c’=0 (с число)
2)x’=1
3)(xa)’=axa-1(а-число)
4)(ax)’=axlna, 0,a не =1
5)(ex)’=ex
6)(logax)’=1/xlna, 0,a не=1, x.0
7)(lnx)’=1/x,x.0
8)sinx)’=cosx
9)(cosx)’=-sinx
10)(tgx)’=1/cos2x
11)(ctgx)’=-1/sin2x
12)(arctgx)’=1/1+x2
13)(arcctgx)’=-1/1+x2
14)(arcsinx)’=1/корень (1-x2)
15)(arccosx)’=-1/корень (1-x2)
3)Логарифмическое дифференцирование применяют тогда, когда нужно найти производную выражения, содержащего произведения, корни, степени, т.е.выражение, которое легко логарифмируется а также для нахождения производной степенно-показательной функции u(x)v(x)
4)Функция наз-ся заданной неявно если она представлена в виде уравнения F(x;y)=0 т.е. у не выражен явно, или его, в принципе, нельзя выразить явно через х. В этом случае производная находится учитывая что у-функция (у3)’=3y2*y’
5)Второй производной от функции y=f(x) называется производная от её первой производной y’f’(x). Обозначается вторая производная следующим образом: y”,f”, d2y/dx2, d2f/dx2. Аналогично определяется производные третьего и более высоких порядков. Например производная сотого порядка обозначается как y(`100) или d100y/dx100