29.Степенные ряды.Теорема Абеля.Радиус,интервал и область сходимости степенного ряда.

Степенным рядом называется функциональным рядом вида a₀+a₁(x-a)+a₂(x-a)²+…+a_n9x-a)ⁿ+..=Ma_n(x-a)ⁿ, где ааа-постоянные вещественные числа, называемые коэффициентами степенного ряда; а-некоторое постоянное число, х-переменная, принимающая значения их множества действительных чисел. При а=0 степенной ряд принимает вид a₀+a₁x+a₂x²+….+a_nxⁿ+..=Ma_nxⁿ. Степенной ряд называют рядом по степеням разности (х-а),ряд 2 –рядом по степеням х.

Если переменной х придать какое-либо значение,то степенной ряд 1 или 2 превращается в числовой ряд, который может сходится или расходиться.

Областью сходимости степенного ряда называется множество тех значений х, при которых степенной ряд сходится.Для нахождения области сходимости степенного ряда важную роль играет следующая теорема. Теорема Абеля-если степенной ряд сходится при х=х₀не=0,то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|<|x₀|; чесли же ряд 2 расходится при х=x₀не=0, то он расходится при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству |x|>|x₀|.

30.Ряды Тейлора и маклорена.

Пусть f(x) –дифференцируемая бесконечное число раз функция в окрестности точки x=a,т.е.имеет производные любых порядков. Рядом Тейлора- функции f(x) в точке х=а называется степенной ряд f(a)+f’(a)/1!(x-a)+f’’(a)/2!(x-a)²+…+fⁿa/n!(x-a)ⁿ+…=Mfⁿa/n!(x-a)ⁿ в частном случае при а=0 ряд называется рядом Маклорена: f(0)+f’(0)/1!x+f’’(0)/2!x²+….+fⁿ(0)/n!xⁿ+…=Mfⁿ(0)/n!xⁿ