5.2. Розрахунки на стійкість стержнів

Центрально стиснуті стержні втрачають свою несучу здатність від втрати стійкості раніше, ніж від втрати міцності, оскільки критичне напруження завжди менше за границю текучості або границю міцності:

,

де σ_н = σ_т - для пластичних матеріалів;

σ_н = σ_в - для крихких матеріалів.

Очевидно, що при практичному вирішенні питання щодо стійкості стержня не можна припустити виникнення в ньому критичного напруження, а слід взяти відповідний запас стійкості:

. (5.22)

Допустиме напруження на стійкість та допустиме напруження на міцність при стисканні взаємно пов’язані. Складемо їх відношення: , або.

Позначивши ,(5.23)

Матимемо: . (5.24)

Тут φ - коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження при розрахунку на стійкість. Цей коефіцієнт для кожного матеріалу можна обчислити при всіх значеннях гнучкості λ й подати у вигляді таблиці або графіка залежності φ від λ.

Складемо умову стійкості стиснутих стержнів:

.

Оскільки , а, то умова стійкості набирає вигляду: .

При розрахунку на стійкість місцеві ослаблення перерізу практично не змінюють значення критичної сили, тому в розрахункові формули вводиться повна площа F_бр поперечного перерізу.

5.3. Перевірний розрахунок стиснутих стержнів

Порядок перевірного розрахунку на стійкість при використанні таблиці коефіцієнтів φ такий:

1) виходячи з відомих розмірів та форми поперечного перерізу, визначаємо найменший осьовий момент інерції І_min, площу F_бр перерізу, мінімальний радіус інерції: (5.25)

та гнучкість ;

2) за таблицею знаходимо коефіцієнт φ та обчислюємо допустиме напруження на стійкість стержня за формулою:

; (5.26)

3) порівнюємо дійсне напруження з допустимим напруженням [σ_ст] на стійкість: ,

Приклад 1. Перевіримо на стійкість стиснуту дерев’яну колону (рис. 5.4) квадратного поперечного перерізу (а = 15 см) завдовжки l = 5м, якщо основне допустиме напруження [σ_] = 10 МПа, а сила стиснення Р = 100 кН.

Рис. 5.4. Розрахункова схема колони

Визначаємо такі величини:

- площу Р= а² = 225 см² ;

- момент ;

- радіус інерції ;

- приведену довжину ;

- гнучкість .

З відповідної таблиці знаходимо .

Тоді [σ_ст] = φ[σ_] = 0,474 × 10 = 4,74 МПа

.

Оскільки σ = 4,44 МПа < 4,74 МПа, то стійкість колони забезпечено.

5.4. Проектний розрахунок стиснутих стержнів

У розрахунковій формулі на стійкість

або

є дві невідомі величини - коефіцієнт φ та необхідна площа брутто F_бр поперечного перерізу. Тому при доборі перерізів слід користуватися методом послідовних наближень, варіюючи значення коефіцієнта φ. Як правило, в першій спробі беруть φ₁ = 0,5...0,6. Вибираючи будь-яке з цих значень φ₁ визначають потрібну площу F_бр та добирають переріз.

Вибраний переріз перевіряють та визначають фактичне значення. Якщо значно відрізняється від φ₁, то й напруження відрізняється від допустимого. Тоді слід повторити розрахунок, тобто зробити другу спробу, взявши середнє за модулем значення φ₁ та :

.

У результаті другої спроби визначають φ₂ . Якщо потрібна третя спроба, то:

і т. д. Як правило, при доборі перерізів потрібно не більше ніж дві-три спроби.

Приклад 1. Доберемо за сортаментом двотавровий поперечний переріз стержня завдовжки 5м, що зазнає дії центрального навантаження стиску 320кН. Обидва кінці стержня затиснуті. Матеріал - Ст3. Основне допустиме напруження [σ_] = 160МПа.

Визначаємо розрахункову приведену довжину стержня:

.

Добираємо поперечний переріз за методом послідовних наближень.

Перша спроба: вибираємо φ₁ = 0,5; потрібна площа поперечного перерізу: .

За сортаментом вибираємо двотавр № 27 з площею F = 40,2 см² та мінімальним радіусом інерції . Гнучкість стрижня:

.

По таблицях (довідник) вибираємо .

Оскільки , перейдемо до другого наближення, взявши . Потрібна площа поперечного перерізу стержня

.

За сортаментом вибираємо двотавр № 24 з площею F = 37,5см² та мінімальним радіусом інерції. Гнучкість стержня:

.

По таблицях (довідник) вибираємо .

Переходимо до третього наближення, взявши

.

Обчислюємо потрібну площу

.

За сортаментом вибираємо двотавр № 24 з площею F = 34,8см² та мінімальним радіусом інерції .. Гнучкість стержня:

.

Для λ = 105 коефіцієнт:

.

Обчислюємо напруження:

.

Перенапруження становить:

.

Таким чином, остаточно вибираємо для стержня двотавр № 24.