Задача 3 Мінімізація витрат на перевезення продукції за допомогою транспортного методу

Транспортний метод часто застосовується для вирішення задач, пов’язаних з транспортуванням продукції з різних місць в декілька пунктів призначення.

Метою є мінімізація витрат на доставку n одиниць продукції в m пунктів призначення або максимізація прибутку від транспортування n одиниць продукції в m пунктів призначення.

Приклад.

Компанія володіє 4 фабриками, продукція з яких надходить до 3 складів. Менеджерам необхідно скласти графік надходжень продукції з мінімальними витратами, використовуючи дані про щомісячний обсяг випуску продукції.

Таблиця 4.6

Фабрика	Обсяг поставок, од.	Склад	Потреба, од.
А Б В Г	14 10 13 15	К Л М	18 23 11

Таблиця 4.7

Фабрика	Витрати на транспортування одиниці продукції на склад, грн.
	К	Л	М
А Б В Г	10 8 13 14	9 12 10 11	11 14 12 9

Розв’язок:

Стадія І. Побудова транспортної матриці.

Спочатку необхідно переконатися, що загальні обсяги поставок співпадають із загальною потребою. Якщо ця умова не виконується, то необхідно додати до вихідних даних фіктивний склад або фабрику. Обсяг поставок (потреба) додаткової фіктивної фабрики (складу) – це різниця між сумарними показниками рядків та стовпців. Показники витрат в кожній клітині фіктивного рядка (або стовпця) будуть дорівнювати 0, тобто відправлені сюди одиниці продукції не дають ніяких витрат на транспортування.

На склад З фабрики	К	Л	М	Поставки з фабрики
А	10	9	11	14
Б	8	12	14	10
В	13	10	12	13
Г	14	11	9	15
Потреба складів	18	23	11	52 52

Стадія ІІ. Вихідний розподіл.

1. Розподіл методом північно-західного кута

Розподіл починається з верхнього лівого кута матриці. В клітинах першого рядка показується найбільша можлива кількість одиниць. Потім така ж процедура повторюється для другого, третього рядка і далі доти, доки всі потреби не будуть розподілені по рядкам і стовпцям.

Перевага: спрощується алгоритм розподілу.

Недолік: не враховуються витрати транспортування.

На склад З фабрики	К	Л	М	Поставки з фабрики
А	10 14	9	11	14
Б	8 4	12 6	14	10
В	13	10 13	12	13
Г	14	11 4	9 11	15
Потреба складів	18	23	11	52 52

Загальні витрати = 14·10 + 4·8 + 6·12 + 13·10 + 4·11 + 11·9 = 517 грн.

2. Розподіл методом найменших витрат

В цьому випадку найбільше значення проставляється в клітину з найменшими витратами. Зв’язки можуть порушуватися довільно. Закінчується дана процедура після того, як усі потреби будуть розподілені по рядкам і стовпцям.

На склад З фабрики	К	Л	М	Поставки з фабрики
А	10	9 14	11	14
Б	8 10	12	14	10
В	13 4	10 9	12	13
Г	14 4	11	9 11	15
Потреба складів	18	23	11	52 52

Загальні витрати = 14·9 +10·8 + 4·13 + 9·10 + 4·14 + 11·9 = 503 грн.

3. Розподіл методом наближень Фогеля

Етапи процесу розподілу:

1. В кожному рядку та в кожному стовпці (з урахуванням фіктивних), визначити різницю між двома найменшими у рядку або стовпцю значеннями витрат на транспортування.

2. Визначити рядок або стовпець з найбільшою різницею.

3. Записати найбільше можливе значення одиниць в клітину з найменшими витратами, яка знаходиться в рядку або стовпці з найбільшою різницею, обраною на етапі 2.

4. Закінчити процедуру, якщо задоволені всі потреби рядків або стовпців, інакше перейти до етапу 5.

5. Перерахувати різницю між двома клітинами з найменшими витратами в кожному рядку та кожному стовпцю, які залишилися незаповненими. При розрахунку подальшої різниці не потрібно враховувати рядки та стовпці з показниками потреби або поставок, які дорівнюють нулю. Повернутись до етапу 2.

Цей метод у 80% випадків дозволяє отримати оптимальне або близьке до нього рішення.

На склад З фабрики	К	Л	М	По-ставки з фаб-рики
А	10 8	9 6	11	14
Б	8 10	12	14	10
В	13	10 13	12	13
Г	14	11 4	9 11	15
Потреба складів	18	23	11	52 52

Ітерації
1	2	3	4	5	6
10-9= 1	1	11-9= 2	2 max	-	-
12-8= 4max	-	-	-	-	-
12-10= 2	2	2 max	-	-	-
11-9= 2	2	2	2	2	3 max

Ітерації	1	10-8= 2	10-9= 1	11-9= 2
	2	13-10= 3max	1	2
	3	-	1	2
	4	-	2	2
	5	-	1	2 max
	6	-	1	-

Загальні витрати = 8·10 +6·9 + 10·8 + 13·10 + 4·11 + 11·9 = 487 грн.

Стадія ІІІ. Знаходження оптимального рішення.

У разі необхідності, транспортну матрицю можна оптимізувати за допомогою методу послідовних кроків.

Пошук оптимального рішення полягає в оцінці кожної невикористаної клітини та визначенні, чи не буде переміщення в неї вигіднішим з позиції зменшення загальних витрат. Якщо це так, то переміщення виконується і процес повторюється доти, поки не будуть оцінені всі клітини та виконані усі відповідні переміщення.