2. Види дисперсій та правило їх додавання

Варіація ознаки формується під впливом різних факторів. При вивченні дисперсії досліджуваної ознаки в межах даної сукупності можна визначити три показники коливання ознаки: загальну дисперсію, міжгрупову дисперсію і середню із групових дисперсій.

Загальна дисперсія, яку вже було розглянуто, характеризує загальну варіацію ознаки під впливом усіх умов і причин, що зумовили цю варіацію.

(2.1.)

або спрощеним способом: (2.2.)

Для визначення впливу постійного фактора на розмір варіації потрібно розбити всю сукупність на групи та знайти, як змінюється результат під дією чинника, покладеного в основу групування. Для цього попередньо необхідно обчислити для кожної групи середню величину ознаки, групові (часткові) дисперсії, середню з групових та міжгрупову дисперсію.

Групова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень окремих значень ознаки всередині групи від середньої арифметичної відповідної групи - . Її можна обчислити як середню просту і як зважену за формулами:

(2.3.)

Ця дисперсія відображує варіацію ознаки лише за рахунок умов і причин, що діють всередині групи.

Середня з групових дисперсій або внутрішньогрупова — це середня арифметична зважена з групових дисперсій: (2.4.)

Міжгрупова дисперсія дорівнює середньому квадрату відхилень групових середніх , від загальної середньої :

(2.5.)

де — міжгрупова дисперсія;

, — середня кожної окремої групи;

—загальна середня всієї сукупності;

f_і — число одиниць сукупності і-ї групи.

Міжгрупова дисперсія характеризує варіацію результативної ознаки за рахунок групувальної ознаки.

Між наведеними видами дисперсій існує певне співвідношення: загальна дисперсія дорівнює сумі середньої з групових дисперсій та міжгрупової дисперсії.

(2.6.)

Це співвідношення називають правилом додавання дисперсій, за яким, знаючи два види дисперсій, можна визначити третій.

3. Характеристики форми розподілу та їх види

Однорідність сукупності — це передумова використання інших статистичних методів (середніх величин, регресійного аналізу тощо). Однорідними вважаються такі сукупності, елементи яких мають спільні властивості (риси) і належать до одного типу, класу. При цьому однорідність означає не повну тотожність рис і властивостей елементів, а лише наявність у них загального в істотному, головному.

Формою розподілу статистичної сукупності прийнято називати криву співвідношення частот і значень варіюючої ознаки. Різноманітність статистичних сукупностей — передумова різних форм співвідношення частот і варіюючої ознаки. За своєю формою розподіли поділяють на такі види: одно-, дво- і багатовершинні. Наявність двох і більше вершин свідчить про неоднорідність сукупності, про поєднання в ній груп із різними рівнями ознаки. Розподіли якісно однорідних сукупностей, як правило, одновершинні. Серед одновершинних розподілів є симетричні і асиметричні (скошені), гостро- і плосковершинні.

У симетричному розподілі рівновіддалені від центру значення ознаки мають однакові частоти, а в асиметричному — вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена вліво, то це правостороння асиметрія, і навпаки.

Найпростішою мірою асиметрії є відхилення між середньою арифметичною, модою і медіаною. В симетричному розподілі характеристики центру мають однакові значення: , в асиметричному між ними існують певні розбіжності. При правосторонній асиметрії: >Ме >Мо; при лівосторонній: <Ме<Мо.

Асиметрія як відносна статистична характеристика визначається стандартизованим відхиленням, яке характеризує напрям і міру скошеності розподілу.

Стандартизовані відхилення розраховується за формулами:

(3.1)

або

(3.2)

Очевидно, що в симетричному розподілі А = 0, при правосторонній асиметрії А > 0, при лівосторонній А < 0.

У симетричних та помірно асиметричних розподілах вимірюється ексцес розподілу.

Асиметрія та ексцес — це дві пов'язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексна їх оцінка виконується на основі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу — це середня арифметична k-го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:

(3.3)

У симетричному розподілі = 0. Чим більша скошеність ряду, тим більше значення .

Для того, щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу вимірювання ознаки, для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів використовується стандартизований момент, який визначається за формулою:

(3.4)

При правосторонній асиметрії коефіцієнт > 0, при лівосторонній < 0. Звідси правостороння асиметрія називається додатньою, а лівостороння — від'ємною. Вважається, що при < 0,25 асиметрія низька, якщо не перевищує 0,5 — середня, при > 0,5 — висока.

Для вимірювання ексцесу використовується стандартизований момент 4-го порядку:

(3.5)

У симетричному, близькому до нормального розподілі = 3. Очевидно, при гостровершинному розподілі > 3, при плоско- вершинному < 3.

В разі потреби безпосередньої оцінки концентрації розподілу порівнюють частки розподілу елементів сукупності d_і з обсягом ознаки (xd_і). При рівномірному розподілі d_і = xd_і Суттєві відхилення xd_і - d_і, вказують на певну концентрацію елементів сукупності. На відхиленнях часток двох розподілів — за кількістю елементів сукупності і обсягом значень ознаки — грунтується оцінка концентрації. Як міра концентрації використовується півсума модулів відхилень: (3.6)

Число К має назву коефіцієнта концентрації. При рівномірному розподілі К = 0, при повній концентрації К = 1. Звідси випливає, що коефіцієнт концентрації змінюється у межах від 0 до 1.

Так, наведені в табл.3.1 дані про розподіл промислових підприємств регіону за вартістю основних виробничих фондів і за обсягами спожитої електроенергії свідчать про нерівномірне споживання електроенергії. До першої групи належить 20% підприємств, а частка спожитої електроенергії становить 4%. Натомість шоста група містить 3% підприємств, які споживають 46% електроенергії. На відхиленнях часток двох розподілів — за кількістю елементів сукупності d_j і обсягом значень ознаки D_j — ґрунтується оцінювання концентрації. Таблиця 3.1

ДО РОЗРАХУНКУ КОЕФІЦІЄНТА КОНЦЕНТРАЦІЇ

Вартість основних виробничих фондів, грн.	У % до підсумку		Модуль відхилення часток
	Кількість підприємств dj	Спожито електроенергії Dj
До 5	20	4	0,16
5 — 10	38	5	0,33
10 — 20	22	8	0,14
20 — 50	13	12	0,01
50 — 100	4	25	0,21
100 і більше	3	46	0,43
Разом	100	100	1,28

У нашому прикладі K = 1,28 : 2 = 0,64, що свідчить про високий ступінь концентрації споживання електроенергії у промисловості регіону.

Коефіцієнти концентрації широко використовуються в регіональному аналізі для оцінювання рівномірності територіального розподілу виробничих потужностей, фінансових ресурсів тощо. За кожним регіоном визначається також коефіцієнт локалізації, який характеризує співвідношення часток.

За даними табл. 3.2 коефіцієнти локалізації свідчать про нерівномірність купівлі (продажу) на душу населення і певною мірою про варіацію життєвого рівня населення різних регіонів.

Таблиця 3.2

КОЕФІЦІЄНТИ ТЕРИТОРІАЛЬНОЇ ЛОКАЛІЗАЦІЇ

Регіон	У % до підсумку		Коефіцієнти локалізації Lj, %
	Чисельність населення dj	Обсяг товарообороту Dj
А	30	34	113
В	50	42	84
С	20	24	120
Разом	100	100	*