Лабораторна робота № 83 вивчення ефекту холла і визначення концентрації і рухливості носіїв струму в напівпровіднику

(

проф. Білий Л.М.

, доц. Потапов А.О., проф. Стаднік Б.М.)

Я вище Холла, що було відкрите в 1879 р., полягає у виникненні "поперечної" різниці потенціалів у металевій чи напівпровідниковій пластинці, по якій протікає електричний струм, якщо її внести в магнітне поле, що перпендикулярне до напрямку струму. Ефект Холла можна легко пояснити, якщо взяти до уваги, що електричний струм являє собою упорядкований рух заряджених часток: в металі - електронів, у напівпровіднику - електронів і дірок /дірки еквівалентні позитивним зарядам/.

Як відомо, на заряджені частинки, що рухаються в магнітному полі, діє сила Лоренця, величина якої визначається за формулою

/83.1/

де -заряд частинки; - швидкість заряджених частинок; - індукція магнітного поля.

З формули /83.1/ видно, що сила Лоренця має найбільше числове значення в тому випадку, коли кут між напрямками швидкості частинки і магнітного поля складає 90°. Сила Лоренця є доцентровою силою, її напрямок визначається за правилом лівої руки.

Тому заряджена частка, потрапивши в однорідне магнітне поле, перпендикулярне до напрямку її початкової швидкості, буде рухатися по дузі окружності. На Рис.83.1 лінії магнітної індукції перпендикулярні до площини малюнку в напрямку "на нас".

Помістимо в магнітне поле пластину з металу або електронного напівпровідника /тобто напівпровідника, у якому носіями струму є електрони/. Нехай напрямок струму буде перпендикулярним до вектора магнітної індукції. У розглянутому випадку напрямку струму відповідає упорядкований рух електронів у протилежному напрямку з деякою середньою швидкістю . При зазначених на Рис.83.1 напрямках електрони під дією сили Лоренця будуть відхилятися вниз /мал.83.1,а/. В результаті на нижній грані пластинки буде накопичуватись негативний заряд, а на верхній – появиться незкомпенсований додатній заряд /позитивні заряди вузлів кристалічної ґратки, що оголились/. Це і є причиною виникнення поперечного електричного поля і поперечної різниці потенціалів між протилежними гранями пластинки.

Помістимо тепер у магнітне поле дірковий напівпровідник /тобто напівпровідник, у якому носіями струму є дірки, що еквівалентні позитивним зарядам/. Тепер напрямку струму відповідає упорядкований рух дірок у тому ж напрямку /мал.83.1,б/. Під дією сили Лоренця ці дірки, які еквівалентні позитивним зарядам, будуть також відхилятися вниз. При цьому знаки зарядів на верхній і нижній гранях поміняються на зворотні з порівнянню з рис.83.1а.

Таким чином, за тих самих умов і при тому ж самому значенню напрямку струму в зразку і напрямку зовнішнього магнітного поля - поперечна різниця потенціалів електронного і діркового напівпровідників має протилежні знаки. Ця обставина і використовується для визначення знаку носіїв струму в напівпровіднику.

Процес нагромадження заряду /зміни концентрації електронів у поперечному напрямку/ і одночасне зростання поперечної різниці потенціалів буде продовжуватися доти, поки електрична сила, що діє на електрони (або дірки в випадку напівпровідника з провідністю р-типу) з боку виниклого електричного поля, не зрівноважить силу Лоренця. Після цього електрони будуть рухатися лише вздовж зразка і нагромадження зарядів припиниться, бо встановиться стаціонарний стан.

Напруженість поперечного холлівського поля може бути чисельно визначена з умови рівності електричної сили і сили Лоренця, що одночасно діють на рухомий заряд:

, /83.2/

де - середня швидкість упорядкованого руху електронів.

На досліді звичайно вимірюють не напруженість поперечного електричного поля, а поперечну різницю потенціалів, яка зв’язана з напруженністю електричного поля співвідношенням

/83.3/

де ширина пластинки /розмір пластинки в напрямку виниклого електричного полючи/.

Підставляючи /82.2/ у /82.3/, отримаємо

/83.4/

Швидкість електронів також не має змісту вимірювати, бо на досліді звичайно простіше виміряти силу струму , що зв'язана з швидкістю співвідношення

і /83.5/

де j – густина електричного струму; - площа поперечного переріза провідника, заряд електрона; - концентрація електронів (або дірок) у досліджуваному зразку.

Підставляючи /83.5/ у /83.4/, одержуємо

/83.6/

Дослідним шляхом було встановлено, що поперечна різниця потенціалів прямо пропорційна силі струму , індукції магнітного полючи В і зворотно пропорційна товщині пластинки ,тобто

/83.7/

де - коефіцієнт пропорційності /постійна Холла/; - товщина пластинки /розмір пластинки в напрямку магнітного поля/.

З формул /83.6/ і /83.7/ стає зрозумілим, чому для вивчення ефекту Холла використовують дуже тонкі пластинки: чим тонше пластинка, тим більше ефект Холла.. Порівнюючи /83.6/ з експериментально встановленою залежністю /83.7/, приходимо до наступного виразу для постійної Холла:

/83.8/

Таким чином, постійна Холла обернено пропорційна концентрації носіїв струму. У металах концентрація "вільних" електронів велика і тому постійна Холла має малі значення. Набагато більше вона в напівпровідниках, де концентрація носіїв струму відносно мала. Знак постійної Холу визначається знаком заряду носіїв струму Визначення знаків постійної Холла (тобто визначення на досліді знака поперечної різниці потенціалів ) дозволяє судити про тип провідності / є вона електронною чи дірковою в досліджуваному зразку напівпровідника/ і обчислити концентрацію носіїв струму в напівпровідниках.

Для визначення постійної Холла необхідно виміряти чотири величини, що входять у формулу /83.7/:

Постійну Холу обчислюють по формулі

/83.9/

По величині постійної Холла можна розрахувати важливу характеристику напівпровідника – концентрацію носіїв струму

/83.10/

Вимірюючи одночасно постійну Холу й електричну провідність зразка, можна обчислити рухливість носіїв струму. Рухливістю носіїв струму /електронів чи дірок/ називають середню швидкість їх спрямованого руху, що здобувається ними в даному напівпровіднику при напруженості електричного поля, що дорівнює одиниці. У нашому випадку швидкість спрямованого руху носіїв струму визначається виразом

/83.11/

де - рухливість носіїв струму; - напруженість поздовжнього електричного поля, що підтримує електричний струм у пластинці. Для густини струму в пластинці відповідно до /83.5/ і /83.11/ отримаємо

/83.12/

де є питома електрична провідність,

У випадку домішкового напівпровідника з чисто електронною чи чисто дірковою провідністю питома електрична провідність запишеться у вигляді:

; ;

де і відповідно концентрації і рухливості електронів і дірок.

Підставляючи /83.10/ у /83.12/, одержимо формулу для визначення рухливості носіїв заряду:

де - питомий опір досліджуваного зразка напівпровідника.

Таким чином, рухливість дорівнює добутку постійної Холла на питому електричну провідність /або постійній Холла, розділеної на питомий опір/. усього викладеного вище випливає, що одночасне вимірювання постійної Холла та електричної провідності дозволяє одержати основні відомості про домішкового напівпровідника: визначити знак носіїв струму, їхню концентрацію та рухливість.

На закінчення можна вказати, що приведений вивід формули /83.6/ на основі елементарної електронної теорії є дуже не строгим. Більш строгий висновок /із урахуванням руху електронів і їхнього розподілу по швидкостях/ дає трохи інше значення для постійної Холла:

де постійна А залежить від механізму розсіювання електронів на вузлах кристалічної ґратки.