4.2.4. Общая распределительная задача

Транспортная задача является частным случаем линейной задачи распределения. В общем случае задача распределения ставится следующим образом. Имеется список работ или операций, каждая из которых требует затрат некоторых видов ограниченных ресурсов. Необходимо так распределить ресурсы по работам, чтобы получить наилучший результат в смысле принятого критерия.

Как и в предыдущих примерах, исходные данные задачи можно представить в виде таблицы, где C_ij – доход, прибыль или затраты при выделении единицы ресурса i-го вида на j-ю работу (табл. 4.4):

Таблица 4.4

Виды ресурсов	Работы (операции)				Количество ресурсов
	1	2	…	n
1	С11	С12	…	С1n	a1
2	С21	С22	…	C2n	a2
…	…	…	…	…	…
m	Cm1	Cm2	…	Cmn	am
Потребность	b1	b2	…	bn

Если C_ij – прибыль или выигрыш, то имеем задачу максимизации, если же C_ij – затраты или убытки, то задачу минимизации.

К распределительным задачам относятся и транспортные задачи. Пример такой задачи приведен выше. Нетрудно видеть, что втранспортной задачеединицы измерения ресурсов и потребностей одинаковы. Если же единицы измерения не совпадают, то имеет местообщий случай задачи распределения.

Другим важным частным случаем задачи распределения (и транспортной задачи) является задача о назначениях или задача выбора. Она отличается от общего случая тем, что по условиям задачи с каждым ресурсом можно оперировать только как с единым целым, он либо направляется на работу, либо нет. Работе также требуется только один вид ресурса, причем целиком. Иначе говоря,. потребности и ресурсы неделимы. Следовательно, в задаче о назначениях всегда a_i=1, b_j=1 и x_ij – булевы, ij.

Как и транспортные, общие распределительные задачи могут быть сбалансированные и несбалансированные в зависимости от соотношения между суммарными потребностями и ресурсами.

Рассмотрим пример общей распределительной задачи.

Пусть с железнодорожной станции необходимо отправить n видов грузов в количестве b_j, j=1, 2, …, n. Станция может использовать m видов вагонов в количестве a_i, i=1, 2, …, m. Для каждого вида вагона известна норма загрузки i–го вагона j– м грузом - B_ij. Известны затраты на погрузку i-го вагона j-м грузом - С_ij. Необходимо организовать отправку груза наилучшим образом, т.е. с минимальными затратами на погрузку.

Как видно, здесь ресурсы – вагоны разных типов (единицы измерения - штуки), а потребность – груз (тонны или м³). Единицы измерения разные, следовательно, это задача общего вида.

Введем переменные x_ij – количество вагонов i-го типа, отводимых под j-й груз. В качестве критерия берем суммарные затраты на погрузку всего груза.

Тогда приходим к модели задачи, которая включает:

критерий

ограничения-равенства, отражающие необходимость отправить все виды грузов в полном объеме,

ограничения-неравенства, учитывающие ограниченное число вагонов каждого вида,

и условия неотрицательности переменных

x_ij 0,  i,j.

Размерность задачи определяется значениями n и m.

Принципиальное отличие данной модели от транспортной содержится в первой группе ограничений – это наличие коэффициентов B_ij. Если бы все B_ij равнялись единице, мы имели бы модель несбалансированной транспортной задачи (и тогда размерности x_ij, b_j и a_i совпадают).