4.11.5. Двойственный симплекс-метод

Метод был предложен Лемке в 1954 году. Первоначально он представлял собой обычный симплекс-метод, применяемый к двойственной задаче. Позднее метод приобрел самостоятельные черты, и необходимость в переходе к двойственной задаче отпала.

Можно сказать, что прямая задача решается двойственно: в начальном и последующих базисных решениях выполняются условия оптимальности (все оценки неотрицательны при максимизации), но вектор Х неположителен, а значит, недопустим. В разрешимой задаче итерации метода приводят к допустимому Х, который и будет оптимальным решением задачи.

Поэтому цикл начинается с анализа базисных переменных. Если все переменные неотрицательны, вычисления завершаются. Иначе выбирается направляющая сторока k по минимальной базисной переменной. Затем вычисляются значения :

для < 0. (4.40)

Эта формула получается аналогично выводу в прямом методе (разд.4.9.2), но применительно к двойственной задаче. Если в прямом методе формула следует из требования получения нового неотрицательногорешения, то здесь – из необходимости соблюсти в новом решенииусловия оптимальности.

При отсутствии в направляющей строке отрицательных _kj констатируется неразрешимость задачи из-за противоречивости условий. Действительно, равенство с отрицательной правой частью и всеми неотрицательными коэффициентами при переменных в левой части не может быть удовлетворено неотрицателными переменными.

Направляющий столбец r определяется по минимальному . Далее текущая симплекс-таблица пересчитывается так же, как в прямом методе. В результате получается новое базисное решение, в котором, по крайней мере,x_k станет неотрицательной.

Очевидно, что в разрешимой задаче такой алгоритм приведет к оптимальному решению за конечное число итераций.

Таким образом, двойственный метод отличается от прямого свойствами начального решения и правилами выбора направляющего элемента.

Пример 4.6. Пусть заготовки вырезаются из прямоугольных листов размером 510. Необходимо наилучшим образом выполнить заказ, включающий два вида прямоугольных заготовок: 650 штук размером 22.5 и 1300 – размером 34.

В качестве критерия возьмем расход материала (листов), а за переменные x_j примем количество листов, раскраиваемыхj-м способом.

Все возможные карты раскроя показаны на рис.4.11. Каждой карте соответствует своя переменная и количество получаемых заготовок (в скобках).

Теперь можно записать модель задачи:

L=x₁+x₂+x₃+x₄  min

10x₁+7x₂+5x₃+x₄  650;

x₂+2x₃+3x₄  1300;

x_j  0.

Приведем условия к каноническому виду с помощью дополнительных переменных и затем умножим их на –1:

-10x₁ - 7x₂ - 5x₃-x₄ +x₅ = - 650;

- x₂ - 2x₃ - 3x₄ + x₆ = -1300.

В качестве базисных возьмем переменные x₅ и x₆ и заполним начальную симплекс-таблицу:

Таблица 0		0	1	1	1	1	0	0
Csi	Базис	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6
0	x5	-650	-10	-7	-5	-1	1	0
0	x6	-1300	0	-1	-2	-3	0	1
L, Δj		0	-1	-1	-1	-1	0	0
Zj		0	0	0	0	0	0	0
		--	--	1	1/2	1/3	--	--

Как видно из таблицы, начальное базисное решение является недопустимым (отрицательным), но удовлетворяет условиям оптимальности (Δ_j0). Поэтому последующие действия будут направлены на достижение допустимого решения при сохранении условий оптимальности.

В качестве направляющей берем строку с минимальной базисной переменной (x₆= -1300).По формуле (4.40) вычисляем значения, минимальное из которых определяет направляющий столбец. Тем самым определен и направляющий элемент. Выполнив симплекс-преобразование, получаем новое базисное решение (табл. 1).

Таблица 1		0	1	1	1	1	0	0
Csi	Базис	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6
0	x5	-650/3	-10	-20/3	-13/3	0	1	-1/3
1	x4	1300/3	0	1/3	2/3	1	0	-1/3
L, Δj		1300/3	-1	-2/3	-1/3	0	0	-1/3
		--	1/10	1/10	1/13	--	--	1

Так как в этом решении есть отрицательная переменная, проводим следующую итерацию, результаты которой представлены в табл. 2.

Таблица 2		0	1	1	1	1	0	0
Csi	Базис	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6
1	x3	50	30/13	20/13	1	0	-3/13	1/13
1	x4	400	-20/13	-9/13	0	1	2/13	-5/13
L, Δj		450	-3/13	-2/13	0	0	-1/13	-4/13

Здесь базисные переменные положительны, значит, решение допустимое. Условия оптимальности, как и в предыдущих решениях, выполняюся. Таким образом, в табл. 2 имеем оптимальное решение задачи раскроя: