8.7.4. Метод золотого сечения

Золотое сечение – это определенное отношение части к целому. Отрезок АВ делится точкой С в отношении золотого сечения (рис. 8.10), если

. (8.37)

Положим АВ = 1, АС = х, СВ = 1 – х, тогда из (8.37) получаем уравнение

х² + х – 1 = 0,

из которого следует

, .

Эти отношения используются для выбора двух точек внутри интервала неопределенности. Они располагаются, как показано на рис. 8.11. Каждая из точек делит интервал [a, b] в отношении золотого сечения.

Вэтих точках вычисляется функция. Еслиf(x₁) > f(x₂), то отбрасывается часть интервала[a, x₁], еслиf(x₁) < f(x₂), то отсекается часть[x₂, b], а при равенстве значений функции – любая из них. Оставшаяся часть интервала равна от величины исходного. Очевидно, что после такого сокращения интервала одна из внутренних точек остается с изменением индекса, а вторая берется на основе золотого сечения или, что одно и то же, симметрично оставшейся (рис. 8.12). Сокращение интервала продолжается до достижения заданной точности.

Алгоритм.

1. Задать точность по координате .

2. Вычислить

3. Вычислитьf( x₁), f( x₂).

4. Если f(x₁)>f(x₂), положить a=x₁, x₁=x₂, или x₂=a+b-x₁, иначе – b=x₂, x₂= x₁, илиx₁= a+b-x₂.

5. Если (b-a)< , закончить поиск.

6. Вычислить функцию в новой точке и перейти на 4.▲

Итерации алгоритма графически иллюстрируются на рис. 8.12.

Покажем, что сохраняемая точка (x₁ или x₂) делит сокращенный интервал также в отношении золотого сечения. Пусть на k-й итерации внутренние точки делят интервал [a^k, b^k] в отношении золотого сечения. Обозначив = b^k - a^k, имеем

.

Тогда для нового, сокращенного, интервала находим

,

В результате получаем:

.

Благодаря этому свойству, внутренние точки не сливаются при любом числе итераций.

Согласно алгоритму функция вычисляется 2 раза на начальном интервале и по одному разу на всех последующих. Поэтому после n вычислений функции интервал неопределенности составит от величины первоначального.При заданной точности можно найти необходимое количество вычислений функции n из условия

8.7.5. Метод Фибоначчи

Схема метода почти полностью совпадает с методом золотого сечения. Отличие в том, что вместо золотого сечения используется отношение чисел Фибоначчи: на k-й итерации доли малого и большого отрезков интервала равны и соответственно.

Числа Фибоначчи F_ вычисляются по известным соотношениям: F₀=F₁=1, F_ = F_{ -1}+ F_{ -2}, 2.

Точки x₁ и x₂ вычисляются по формулам:

, (8.38)

. (8.39)

Как видно, они идентичны приведенным в предыдущем разделе. Однако если при использовании золотого сечения внутренние точки не могут сливаться, то здесь это не так. Действительно, при k=n-1 из (8.38) и (8.39) имеем

, .

Но так как F₀/F₂=F₁/F₂=1/2, то и, следовательно, точки сливаются в середине интервала. Поэтому до начала итераций необходимо определить значение n, гарантирующее достижение минимума с заданной точностью . После 1-й итерации длина интервала составит от величины исходного, после 2-й – ()(),…, после (n-1)-й –

.

Значит, длина последнего интервала будет равна (b₁- a₁)/F_n, где [a₁, b₁] – исходный интервал. Для обеспечения заданной точности требуется, чтобы

или . (8.40)

Таким образом, соотношение (8.40) позволяет определить номер числа Фибоначчи по исходным данным. На начальном интервале точки вычисляются по формулам (8.38) и (8.39) при k=1. На последующих итерациях числа Фибоначчи не требуются, так как одна точка переносится из предшествующей итерации, а вторая берется симметрично ей, то есть лучше использовать вторые формулы из п.4 алгоритма золотого сечения.

После слияния внутренних точек остается неопределенность с положением минимума. Для ее устранения вторая точка берется слева или справа от центра на расстоянии ₁(0,010,05). Для случая сдвига второй точки влево (рис. 8.13) приf(x₁)<f(x₁-₁) минимум лежит в интервале (2), в противном случае – в интервале (1).

Метод Фибоначчи является самым эффективными из всех прямых методов. Очень близок к нему метод золотого сечения: приn>9 они практически совпадают по эффективности и чем больше n, тем ближе эти методы. А в пределе отношение, используемое в методе Фибоначчи на 1-й итерации, становится равным золотому сечению:

.