6.4. Представление логической функции в виде полинома Жегалкина

Полиномом Жегалкина называется представление логической функции в базисе {Å,×,1}(Имеется соответствующая алгебра Жегалкина). В данном представлении инверсия реализуется как сумма по модулю 2 с константой 1.

Для представления ДНФ в виде полинома Жегалкина необходимо выразить дизъюнкцию через конъюнкцию и инверсию.

Например:

хÚy==(хÅ1)(yÅ1)Å1=

=xyÅxÅyÅ1Å1=xyÅxÅy.

(1Å1=0).

Пример. Представить в виде полинома Жегалкина логическую функцию xÚyÚz.

xÚyÚz==(хÅ1)(yÅ1)(zÅ1)Å1=

=(xyÅxÅyÅ1)(zÅ1)Å1=

=xyzÅxzÅyzÅxyÅxÅyÅ1Å1=

=xyzÅxzÅyzÅxyÅxÅy.

Для преобразования полинома Жегалкина используются обычные приемы элементарной алгебры (исключение составляет равносильность аÅа=0).

Полином Жегалкина может быть получен по таблице истинности путем суммирования по модулю два конъюнкций переменных без инверсии x_iи полиномов для инверсных переменных (x_jÅ1) соответствующих рабочих наборов.

Например, получим полином Жегалкина для функции f, таблица истинности которой имеет вид:

Табл.6.2

x	y	z	f
0	0	0	0
0	0	1	1
0	1	0	1
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Тогда получим:

f=(xÅ1)(yÅ1)zÅ(xÅ1)y(zÅ1)Åx(yÅ1)(zÅ1)Åxyz=

=(xyÅxÅyÅ1)zÅ(xzÅxÅzÅ1)yÅx(yzÅyÅzÅ1)Åxyz=

=xyzÅxzÅyzÅzÅxyzÅxyÅyzÅyÅxyzÅxyÅxzÅxÅxyz=

=xÅyÅz,

что и требовалось доказать, ибо и рассматривалась функция сложения по модулю 2 трех аргументов.

6.5. Булева производная

Производная первого порядка от булевой функцииfпо переменнойx_iопределяется следующим образом:

=f(х₁,х₂,...х_i-1,1,x_i+1,...x_n)Å

Åf(x₁,x₂,...x_i-1­,0,x_i+1,...x_n),

где f(х₁,х₂,...х_i-1,1,x_i+1,...x_n) - единичная остаточная функция, получаемая в результате подстановки вместо х_iконстанты 1, аf(х₁,х₂,...х_i-1,0,x_i+1,...x_n) - нулевая остаточная функция, получаемая в результате подстановки вместоx_iконстанты 0.

Определим булеву производную функции f=х₁Úх₂.

=1Åх₂=₂.

f=вÚ

=(вÚ)Å=(вÚ)Å==

=с×Ú(вÚ)(вÚс)=в.

Пример: f(х₁х₂х₃)=₂₃Úх₁х₂х₃.

=(₂₃Ú1×х₂х₃)Å(₂₃Ú0х₂х₃)=

=(₂₃Úх₂х₃)Å₂₃.

Представим сложение по модулю 2 в другом виде (аÅв=аÚв):

(₂₃Úх₂х₃)()Ú()₂₃=

=(₂₃Úх₂х₃)(х₂Úх₃)Ú(х₂Úх₃)(₂Ú₃)₂₃=

=₂₃х₂Úх₂х₃Ú₂₃х₃Úх₂х₃Ú0=х₂х₃.

Булева производная по x_i=0, еслиfне зависит отx_i, булева производная поx_i=1, еслиfзависит только отx_i.

Булева производная первого порядка определяет условия, при которых функция изменяет свое значение при изменении значения переменной x_i(=1).

В нашем примере функция f(х₁х₂х₃) изменяет свое значение при изменении х₁, если истинна конъюнкция х₂х₃, т.е. х₂=1, х₃=1.

Пример. Определим все булевы производные функции f(х₁х₂х₃)=х₁х₂Úх₁₃.

=(х₂Ú₃)Å0=х₂Ú₃.

=(х₁Úх₁₃)Åх₁₃=х₁Åх₁₃=х₁Ú₁х₁₃=

=х₁(₁Úх₃)=х₁х₃.

=х₁х₂Å(х₁Úх₁х₂)=х₁х₂Åх₁=

=х₁х₂₁Úх₁=(₁Ú₂)х₁=х₁₂.

Итак, значение функции изменяется (функция переключается) при изменении х₁, если х₂=1 или х₃=0 (х₂Ú₃=1); при изменении х₂, если х₁=х₃=1 (х₁х₃=1); при изменении х₃, если х₁=1; х₂=0 (х₁₂=1).

Смешанная булева производная k-го порядка определяется путем вычисленияkраз булевых производных первого порядка от булевых производных первого порядка, например:

=()==1Å₃=х₃.

Булева производная k-го порядка равна сумме по модулю два всех производных первых, вторых, третьих,...k-х смешанных производных, и определяет условия, при которых функция изменяет значение при одновременном изменении соответствующих переменных, например:

=

=(х₂Ú₃)Åх₁х₃Åх₃=(х₂Ú₃)Åх₃(х₁Å1)=(х₂Ú₃)Åх₃₁=

=(х₂Ú₃)Ú()х₃₁=(х₂Ú₃)(₃Úх₁)Ú₂х₃×х₃₁=

=х₂₃Ú₃Úх₂х₁Ú₃х₁Úх₃₂₁=₃Úх₂х₁Ú₂₁.

Таким образом, fпереключается при одновременном переключении х₁, х₂, когда х₃=0, либо независимо от х₃при переключении х₁и х₂с 1,1 на 0,0 или с 0,0 на 1,1.