6.3. Преобразование форм представления логических функций

Одним из способов задания логических функций является их представление в виде аналитических выражений (формул). Существуют дизъюнктивная, конъюнктивная и смешанная (скобочная) формы.

Рассмотрим дизъюнктивные формы представления логический функций. Выражение вида

_k×_l..._m,

содержащее множество попарно различных переменных или их инверсий, называется элементарной конъюнкцией (ЭК). Под понимается либо сама переменная х, либо ее инверсия.

Если логическая функция, зависящая от nпеременных, записана в виде дизъюнкции элементарных конъюнкций ЭК: ЭК1ÚЭК2Ú...ÚЭКrи хотя бы одна ЭК не содержит всеnпеременных, то такая форма задания называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ). ДНФ - дизъюнкция конечного множества попарно различных элементарных конъюнкций.

Например:

f(авсd)=аÚÚвd.

Произвольная логическая функция, например так называемая скобочная форма, может быть приведена к ДНФ следующим образом:

- выполнить все операции инверсии, применяемые к логическим выражениям (группе переменных);

- раскрыть все скобки;

- в полученном выражении произвести все упрощения.

Например:

f(х₁х₂х₃)==

===

==.

Получили ДНФ функции f(х₁х₂х₃).

Если все элементарные конъюнкции, входящие в ДНФ, содержат все nпеременных, от которых зависит функция, то такая форма называется совершенной дизъюнктивной (СДНФ). СДНФ может быть получена по рабочим (единичным) наборам функций, например по таблице истинности, и наоборот, если задана СДНФ, можно получить таблицу истинности. Однако если не оговорены условные наборы, все остальные наборы, кроме наборов, соответствующих членам СДНФ, будут считаться запрещенными.

Пусть задана таблица истинности функции сложения по модулю два (Å) (табл.6.1).

Табл.6.1

а	в	z=аÅв
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

Тогда z(ав)=вÚа, т.е. это СДНФ.

Первый член ДНФ соответствует строке 01, второй - строке 10.

Элементарные конъюнкции, входящие в СДНФ функции, называются конституэнтами единицы (или минтермами). Конституэнта единицы обращается в 1 (истинна) на единственном наборе значений переменных. Так, подстановка входного набора 01 (база ав) обращает в 1 конституэнту в (1=1). Если считать выражениеz(ав) уравнением, то наборы 01, 10 - его решения.

От СДНФ легко перейти к номерам рабочих наборов в различных системах. Так,

z(ав)®01₂Ú10₂®1₁₀Ú2₁₀.

Аналогично по СДНФ можно получить рабочие наборы, считая остальные запрещенными:

z(ав)=1,2[0,3].

Получили символическую форму задания логической функции в десятичных номерах рабочих и запрещенных наборов. Очевидно, не составляет труда и обратный переход - от символической формы, от номеров наборов - к СДНФ.

Для преобразования ДНФ в СДНФ можно выполнить конъюнкцию каждой элементарной конъюнкции, не содержащую i-ю переменную, с тождественно истинным выражением. Таких переменных может быть несколько, будет несколько и тождественно истинных выражений. После этого раскрываются скобки и производятся необходимые упрощения.

Пример:

f(х₁х₂х₃)=₁×₂Ú₁×х₃=

=₁₂(х₃Ú₃)Ú₁х₃(х₂Ú₂)=

=Ú₁₂₃Ú₁х₂х₃Ú=

=₁₂х₃Ú₁₂₃Ú₁х₂х₃.

Получили СДНФ.

Имеется способ получения СДНФ из ДНФ с использованием обобщенного кода, в котором для обозначения недостающих переменных в соответствующих позициях используются знаки "-" (или ~- "тильда"), а для остальных - символы 0,1.

Пример. Ту же функцию (х₁х₂х₃) представим в виде

00-Ú0-1.

Тогда, подставляя вместо "-" всевозможные комбинации 0,1, получим:

Таким образом, получили номера 000, 001, 011, которые соответствуют членам СДНФ.

СДНФ логической функции, тождественно равной 1 (тождественно истинной), содержит 2ⁿконстинтуэнт (n- число переменных).

Логическая функция может быть представлена в конъюнктивной форме.

Выражение вида , содержащее множество попарно различных переменных или их инверсий, называется элементарной дизъюнкцией (ЭД).

Если логическая функция, зависящая от nпеременных, записана в виде конъюнкции элементарных дизъюнкций ЭД1,ЭД2,...ЭД и хотя бы одна ЭД не содержит всеnпеременных, то такая форма задания называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ). КНФ - конъюнкция конечного множества попарно различных элементарных дизъюнкций.

Например: f(авсd)=а(Úс)(вÚd).

Произвольная логическая функция, например скобочная форма, может быть всегда приведена к КНФ следующим образом:

- заданная функция инверсируется, и получается ДНФ инверсной функции;

- ДНФ инверсной функции инверсируется еще раз, получается тождественная исходной функция в КНФ;

- на каждом этапе следует производить необходимые упрощения.

Пример:

f(х₁х₂х₃)=;

(х₁х₂х₃)==

==(х₁Úх₂₃)(х₁Ú₃)= =х₁Úх₂₃;

(х₁х₂х₃)==₁(₂Úх₃).

Получили КНФ.

Второй способ получения КНФ заключается в выполнении всех операций инверсии, применяемой к группе переменных (логическим выражением), затем используется распределительных закон.

Пример:

f(х₁х₂х₃)==

===

=₁₂Ú₁х₃Ú₁х₃=₁₂Ú₁х₃=

=(₁₂Ú₁)(₁₂Úх₃)=₁(₁₂Úх₃)=

=₁(₂Úх₃).

Если все элементарные дизъюнкции, входящие в КНФ, содержат все nпеременных, от которых зависит функция, то такая форма называется совершенной конъюнктивной нормальной (СКНФ).

СКНФ может быть получена по запрещенным (нулевым) наборам функции, например по таблице истинности. Для получения СКНФ по таблице истинности необходимо составить элементарные дизъюнкции всех переменных для каждой строки таблицы, в которой функция равна 0. При этом в дизъюнкцию входит сама переменная, если ее значение равно 0, и отрицание переменной, если ее значение равно 1.

Так, для функции сложения по модулю 2 (табл.6.1) СКНФ имеет вид:

z(а,в)=(аÚв)(Ú).

Элементарные дизъюнкции, входящие в СКНФ функции, называются конституэнтами нуля (макстермами).

Конституэнта нуля обращается в нуль на единственном наборе переменных, который является запрещенным (нулевым) набором функции. Например, для функции сложения по модулю 2 конституэнта нуля (аÚв) обращается в 0 на наборе 00, а конституэнта нуля (Ú) - на наборе 11.

От СКНФ можно перейти к номерам запрещенных наборов в различных системах счисления. Для получения двоичных номеров в порядке базы функции (например, ав) необходимо заменить символы переменных с инверсией на 1, а без инверсии - на 0 и записать вместо элементарных дизъюнкций соответствующие совокупности двоичных чисел.

Если дополнительной информации нет, то все остальные числа из области задания функции считаются рабочими.

Для преобразования КНФ в СКНФ можно выполнить дизъюнкцию каждой элементарной дизъюнкции, не содержащей i-ю переменную, с тождественно ложным выражением х×. Таких недостающих переменных может быть несколько; тогда надо добавлять соответствующие тождественно истинные выражения. Затем применяется распределительный закон и производятся необходимые упрощения.

Например:

f(х₁х₂х₃)=₁(₂Úх₃)=

=(₁Úх₂₂Úх₃₃)(₂Úх₃Úх₁₁)=

=(₁Úх₂₂Úх₃)(₁Úх₂₂Ú₃)(₂Úх₃Úх₁)(₂Úх₃Ú₁)=

=(₁Úх₂Úх₃)(₁Ú₂Úх₃)(₁Úх₂Ú₃)(₁Ú₂Ú₃)×

×(х₁Ú₂Úх₃)(₁Ú₂Úх₃).

Соответствующие запрещенные наборы: 100, 110, 101, 111, 010 (база х₁х₂х₃).