97

6. Основные законы алгебры логики и преобразования логических функций

6.1. Основные законы алгебры логики

(Булевой алгебры логических функций)

Согласно положениям математической логики логические формулы, истинные на всех наборах значений переменных, а также сами формулы И(I) называются тавтологиями (тождественно истинными формулами). Такова, например формула хÚ("я сдам экзамен (х) или я не сдам экзамен ()" - высказывание всегда истинно). В алгебре логики высказывания называют равносильными, если они истинны либо одновременно ложны. Так, высказывания "завтра будет среда" и "вчера был понедельник" одновременно истинны во вторник, в остальные дни - ложны.

Формулы f₁ иf₂равносильны, если их эквиваленцияf₁«f₂является тавтологией (эквиваленция соответствует словосочетанию ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА). Равносильность, как правило, обозначаетсяº, но мы будем нестрого использовать в дальнейшем и простое равенство =.

Равносильность - это некоторое отношение, которое обладает следующими свойствами:

а) оно рефлексивно, т.е. fºf, всякая формулаfравносильна самой себе;

б) оно симметрично: если f₁ºf₂, тоf₂ºf₁;

в) оно транзитивно: если f₁ºf₂иf₂ºf₃, тоf₁ºf₃.

Равносильности формул алгебры логики часто называют законами. Они подобны законам алгебры множеств. Говорят, что булева алгебра логических функций изоморфна булевой алгебре множеств.

Первые законы сформулировал еще Аристотель:

1) хºх - закон тождества;

2) х׺Л(О) - закон противоречия;

3) хÚºИ(1) - закон исключенного третьего.

Закон тождества означает, что мысль, заключенная в некотором высказывании, остается (считается) неизменной на протяжении всего рассуждения. Закон противоречия гласит, что никакое предложение не может быть истинным одновременно со своим отрицанием.

Закон исключенного третьего говорит о том, что для каждого высказывания имеется лишь две возможности: быть либо истинным, либо ложным. Третьего не дано.

Имеется также закон двойного отрицания:

4) ºх.

Закон идемпотентности (от латинского idem- то же,potentio- сила):

5) х×хºх; хÚхºх.

Этот закон рассматривается относительно операций конъюнкции и дизъюнкции. В силу закона идемпотентности в алгебре логики нет показателей степеней, коэффициентов. Оказывается, основные законы алгебры логики двойственны (справедливы относительно конъюнкции и дизъюнкции).

Рассмотрим следующие законы:

6) коммутативности (переместительности):

х×yºy×х; xÚyºyÚх;

7) ассоциативности (сочетательности):

х×(y×z)º(x×y)×z; xÚ(yÚz)º(xÚy)Úz;

8) дистрибутивности (распределительности):

х×(yÚz)ºxyÚхz; xÚyz)º(xÚy)Ú(хÚz).

Закон дистрибутивности относительно дизъюнкции не имеет аналога в обычной алгебре;

9) Де Моргана:

;.

Отрицание конъюнкции высказываний равносильно дизъюнкции отрицаний этих высказываний.

Отрицание дизъюнкции высказываний равносильно конъюнкции отрицаний этих высказываний.

Дополнительно рассмотрим следующие законы для практического применения законы:

10) закон поглощения:

xÚхyºх; х(xÚy)ºх;

короткий член конъюнкции (дизъюнкции) поглощает длинный член, содержащий короткий в качестве составной части;

11) закон склеивания:

xyÚxºх; (xÚy)(xÚ)ºх;

здесь склеивание производится по переменной y; она исключается, если входит в члены дизъюнкции (конъюнкции) с разными знаками, а остальные элементы в конъюнкции (дизъюнкции) с ней одинаковы;

12) закон обобщенного склеивания:

xyÚzÚyzºхyÚz; (xÚy)(Úz)(yÚz)º(хÚy)(Úz);

т.е. в дизъюнкции конъюнкций "лишней" является конъюнкция, полученная в результате конъюнкции членов перед инверсной и неинверсной переменной в двух других конъюнкциях. То же можно сказать и о конъюнкции дизъюнкций, в которых имеются дизъюнкции с такими переменными.

Еще раз отмечаем двойственность законов алгебры логики: они действуют как относительно дизъюнкции, так и относительно конъюнкции.

Кроме перечисленных законов, которые можно доказать, например, построив соответствующие таблицы истинности (соответствия), большое значение имеют так называемые соотношения 0 и 1, полученные на основании законов алгебры логики:

Ú1º1;×1ºх;

Ú0ºх;×0º0;

ں1;׺0,

причем Î{х,,0,1}; два последних соотношения - это закон исключенного третьего и закон противоречия. Так, например:

1Ú0=1; 1×0=0;

0Ú1=1; 0×1=0.

Здесь мы стали применять простое равенство (=).

Рассмотренные законы применимы не только к отдельным переменным, но и к группам переменных, объединенных операциями алгебры логики, т.е. х, например, может быть в свою очередь конъюнкцией а, а==Úв.

В алгебре логики установлен порядок выполнения действий. При отсутствии в выражении скобок первыми выполняются операции отрицания (инверсии), затем операции конъюнкции и последними - дизъюнкции.

При наличии в выражении скобок в первую очередь производятся операции внутри скобок.