8.3.2. Формулы логики предикатов

Аналогично логике высказываний можно ввести понятие формулы логики предикатов.

Алфавит логики предикатов содержит:

1. Предметные переменные x,y,z...x_i,y_i,z_i (i- натуральное число);

2. Предикатные буквы P,Q,R,P_i,Q_i,R_i (i- натуральное число);

3. Символы логических операций Ù(×),Ú,®,«,-;

4. Символы кванторов ",$;

5. Вспомогательные символы (,) - скобки; , - запятая.

Выражения Р и Р(х₁,х₂...х_n) будем соответственно называть нуль-местными иn-местными предикатными символами.

Определение формулы логики предикатов.

1. Всякий нуль-местный предикатный символ - формула (высказывание);

2. Всякий n-местный предикатаный символ - формула;

3. Если F- формула, а х - предметная переменная, то"х(F) и$х(F) - формулы;

4. Если F₁иF₂- формулы, то₁, (F₁×F₂), (F₁ÚF₂),(F₁®F₂), (F₁«F₂) - формулы.

Примеры: 1) Р; Q(x,y,z); R(x₁,x₂)- элементарные формулы; 2)"х(Р(x,y,z)); "x($y(P(x,y,z))); () - составные формулы.

Рассмотрим формулу Q(х)×"хР(x,y,z).

Здесь первое вхождение переменной х - свободное (Q(х)), второе и третье - связанные.

Переменная называется свободной в формуле, если хотя бы одно ее вхождение в этой формуле свободно.

Формулы логики предикатов становятся высказывательными формами с предметными переменными или высказываниями, если задать непустое множество М значений, которые можно приписать предметным переменным, входящим в формулу, а каждому n-местному предикатному символу поставить в соответствииn-местный предикат, определенный на множестве М; нуль-местным предикатным символам (высказываниям) независимо от выбора множества М приписывается одно из значений истинности.

Если формула не содержит свободных предметных переменных, то, задав множество М и приписав предикатным символам конкретные предикаты, мы получим значение истинности некоторого соответствующего высказывания.

Если же в формуле есть свободные вхождения предметных переменных, то получим высказывательную форму от этих переменных, которая станет высказыванием, если подставить вместо свободных вхождений переменных элементы множества М. Такое обращения формулы в высказывание называется интерпретациейэтой формулы.

Формула без свободных предметных переменных называется замкнутой, а со свободными предметными переменных -открытой.

Если в формуле не содержится символы ®,«, а также составных формул под знаками отрицания (и в такую формулу всегда можно преобразовать с помощью законов алгебры логики), то формула называетсяприведенной.

Если в формуле все кванторы стоят в ее начале (можно доказать, что это тоже можно всегда сделать), то формула называется предваренной.

Пример 1. Дадим интерпретацию замкнутой формуле

$y "хР(х,y).

1. Пусть М = {1,2}.

2. Предикатной букве Р поставим в соответствии двухместный предикат, заданный табл.8.6:

Табл.8.6

(x,y)	(1,1)	(1,2)	(2,1)	(2,2)
Р(х,y)	1	0	1	0

Таким образом, в этой интерпретации формула истинна, так как существует y(равный 1) такой, что при всяком х (равном 1 или 2) Р(х,y) истинно (=1).

Пример 2. Дадим интерпретацию открытой формуле

$y "хР(х,y)®(Q(x)×R).

1. Возьмем то же множество, что и в примере 1.

2. Предикатной букве Р поставим в соответствии тот же предикат, заданный табл.8.6, а предикатной букве Q- предикат, заданный табл.8.7.

Табл.8.7

х	1	2
Q(х)	1	0

3. Предикатному символу Rприпишем значение 1.

4. Свободному значению переменной х припишем значение 1.

При такой интерпретации формула приобретает истинное значение: дело в том, что, как мы убедились, $y "хР(х,y) в этой интерпретации истинна,Q(1) - истинное высказывание,Rтакже истинное; поэтому в соответствии со свойством импликации 1®1×1=1.

Если же свободной переменной приписать значение 2, либо символу Rзначение 0, либо буквеQ- предикат "быть четным числом" (т.е. будет другая таблица 8.7), то формула будет ложной.

Формула выполнима в данной интерпретации, если она может быть истинной.

Формула истинна в данной интерпретации, если она принимает истинное значение на любом наборе свободных переменных.

Формула общезначима или тождественно истинна, если она истинна в каждой интерпретации.

Формула выполнима, если существует интерпретация, в которой она выполнима.

Все тавтологии логики высказываний являются общезначимыми формулами логики предикатов.

Как известно, логика высказываний разрешима, т.е. всегда можно установить, является ли формула логики высказываний тавтологией, например, составив таблицу истинности.

Что касается логики предикатов, то для ее формул, вообще говоря, в связи с бесконечностью предметной области, не существует общего способа установления их общезначимости, т.е. исчисление предикатов неразрешимо (теорема Черча). Это не говорит о том, что данная проблема не может быть разрешена в частных случаях. Кроме того, доказано, что исчисление одноместных предикатов разрешимо.

Общезначимость некоторых формул можно установить в помощью рассуждений.

Докажем, например, общезначимость формулы "хР(х)®Р(y). Допустим, что в некотором множестве М букве Р поставлен в соответствии такой предикат, что Р(y) при некоторомyпринимает значение 0. Но тогда и"хР(х) получит значение 0. Следовательно, приведенная форма общезначима.

Для доказательства того, что формула не общезначима, достаточно указать одну интерпретацию, дающую этой формуле значение 0.

Например, формула $хР(х)®"хР(х) не общезначима. Пусть М={1,4}, Р - предикат - быть простым числом. Тогда$хР(х) - имеет значение 1, а"хР(х) - значение 0, т.е. формула принимает значение 0.

С помощью логики предикатов можно формализовать более сложные высказывания, например, предложение: "В Москве живет женщина, имеющая брата в Перми". Обозначим Р₁(х) - "х - женщина"; Р₂(х) - "х - живет в Москве";Q₁(y)- "y- мужчина";Q₂(y)- "y- живет в Перми";R(z,x) - "z -мать х";R(z,y) - "z- матьy" (будем считать братьями и сестрами людей, имеющих общую мать).

Тогда получим формулу:

$х(Р₁(х)×Р₂(х)×$y(Q₁(y)×Q₂(y)$z(R(z,x)×R(z,y)))).

Эта формула равносильна формуле

$y(Q₁(y)×Q₂(y)×$х(Р₁(х)×Q₂(х)$z(R(z,x)×R(z,y))))),

соответствующая высказыванию "В Перми живет мужчина, имеющий сестру в Москве", равносильному первому, что нельзя было бы установить в более простой логике высказываний.