8.3. Исчисление предикатов

8.3.1. Понятие предиката

Логика высказываний - очень узкая логическая система. Есть такие типы логических рассуждений, которые не могут быть осуществлены в рамках логики высказываний. Так, например, на языке логики высказываний мы не можем выразить тот факт, что из предложения "По меньшей мере один курсант решил все задачи" следует предложение "Каждую задачу решил по меньшей мере один курсант". Другие примеры: "Всякий друг Ивана есть друг Петра. Сидор не есть друг Петра. Следовательно, Сидор не есть друг Ивана".

Пусть а,в,с - прямые на плоскости; тогда у посылок а||в и в||с следует заключение а||с, однако логика высказываний не позволяет получить такое заключение.

Корректность этих умозаключений основана на связи между элементами внутренней структуры элементарных высказываний и на смысле слов "всякий", "каждый", "существуют", "имеется", которые логикой высказываний не учитываются.

Эти рассуждения, как и многие другие, могут быть описаны на языке логики предикатов, которая является расширением логики высказываний, т.е. вместе со всеми понятиями логики высказываний содержит ряд других понятий.

Предложения рассмотренного выше типа называются предикатами(от латинскогоpredicatum- "сказуемое").Точнее, предикатом Р(х₁,...,х_n) называется функция, переменные которой принимают значения из некоторого множества М (или некоторых множеств, возможно бесконечных), а сама функция принимает два значения: И(1,истина), Л(0,ложь):

Р(х₁,...,х_n): Мⁿ ®В, В={1,0}.

Переменные х₁,...,х_nназываютсяпредметнымипеременными.

Таким образом, понятие предиката являются расширением понятия логической функции.

Традиционная (формальная) логика выделяет в элементарном высказывании (суждении) субъект и предикат. Субъект (логическое подлежащее) - то, о чем говорится в высказывании; предикат (логическое сказуемое) - то, что говорится (утверждается или отрицается) о субъекте. Например, в высказывании "Кошка имеет четыре ноги" "кошка" - субъект, "имеет четыре ноги" - предикат.

Предикат, так же, как и высказывание, может задаваться высказывательной формой. Например: "Река х впадает в Каспийское море", "Всякий друг х есть друг y", "Точки х,y,zлежат на одной плоскости".

Предикат от nаргументов называютn-местным предикатом и обычно обозначают большими буквами латинского алфавита. Высказывания являются нуль-местными предикатами.

Поскольку предикат определен на декартовом произведении множества самого на себя Мⁿили, что также возможно, на декартовом произведении разных множеств М_х´М_y, то порядок его переменных должен быть фиксированным.

Предикат на конечных множествах может быть задан таблицей.

Например, предикат "х меньше y", заданный на множествах М_х={1,2,3}и М_y={2,4}в виде таблицы имеет вид:

Табл.8.1

(x,y)	x<y	P2(x,y)
(1,2)	1<2	1
(1,4)	1<4	1
(2,2)	2<2	0
(2,4)	2<4	1
(3,2)	3<2	0
(3,4)	3<4	1

Каждому предикату Р, заданному на множестве М, соответствует подмножество этого множества, состоящее из тех и только из тех элементов, которым соответствует значение 1(И). Это подмножество - множество истинности предиката. Предикаты могут быть тождественно истинны и тождественно ложны.

Над предикатами можно производить обычные логические операции. В результате получают новые предикаты.

Инверсией предикатаназывается предикат, у которого значения истинности проинверсированы.

Конъюнкцией предикатаназывается предикат, у которого множество истинности является пересечением множеств истинности исходных предикатов.

Пусть Р(х) означает предикат "х делится на два", Q(х) - предикат "х делится на три". Тогда выражение Р(х)×Q(х) означает предикат "х делится на два и х делится на три", т.е. определяет предикат делимости на 6.

Дизъюнкцией предикатовназывается предикат, у которого множество истинности является объединением множеств истинности исходных предикатов.

Аналогично могут быть определены импликация и эквиваленция.

Очевидно, что переменные должны принимать значение из одного общего множества.

Пусть предикаты Р₁(x,y) и Р₂(x,y) (Х={c,d,e}, Y={a,в,c,d}) определяются соответствующими табл.8.2, 8.3.

Табл.8.2							Табл.8.3
y х	а	в	с	d			y х	а	в	с	d
с	1	0	0	1			с	1	0	1	0
d	0	1	1	0			d	1	1	0	0
е	1	0	0	0	Р1(х,y)		е	0	0	1	1	Р2(х,y)

Тогда импликацией Р₁(х,y)®Р₂(х,y) будет предикат Р_И(х,y), ложный в тех соответствующих клетках, где первый предикат Р₁(х,y) истинный, а Р₂(х,y) - ложный (табл.8.4), а эквиваленцией Р₂(х,y)«Р₂(х,y) будет предикат Р_Э(х,y), истинный в тех соответствующих случаях где оба предиката принимают одинаковые значения.

Табл.8.4							Табл.8.5
y х	а	в	с	d			y х	а	в	с	d
с	1	1	1	0			с	1	1	0	0
d	1	1	0	1			d	0	1	0	1
е	0	1	1	1	РИ(х,y)		е	0	1	0	0	РЭ(х,y)

Также, как в логике высказываний определяется равносильность предикатов - она выполняется, когда на всяком наборе значений входящих в них переменных они принимают одинаковые значения.

Таким же образом можно определить следование Р₁®Р₂предиката Р₂из предиката Р₁. Это выполняется тогда, когда Р₁®Р₂истинно на всех наборах переменных, т.е. множество истинности Р₁является подмножеством множества истинности предиката Р₂(множество истинности предиката Р₁включается во множество истинности предиката Р₂).

Очевидно, что свойства - одноместные отношения - являются одноместными предикатами, а многоместные отношения - это многоместные предикаты.

В исчислении предикатов используется выражение "для всякого х" ("для каждого х", "для любого х" и т.д.), которое называется квантором общностипо переменной х, который мы уже использовали. Под выражением ("х)Р(х) будем подразумевать высказывание истинное для каждого элемента х из множества М_И, ложное в противном случае.

Читается это выражение так: для всякого х Р(х)". Это высказывание уже не зависит от х.

В исчислении предикатов используется также выражение "существует", "имеется", "есть", "некоторые", которое называется квантором существованияпо переменной х, также нам знакомый. Под выражением ($х)Р(х) будем подразумевать высказывание, истинное, когда существует хотя бы один (по меньшей мере один, но, может быть, и все) элемент множества М, для которого Р(х) истинно, а ложное - в противном случае.

Читается это выражение так: "существует х такое, что Р(х)".

Скобки для кванторов будем иногда опускать.

Переход от высказывательной формы Р(х) к высказываниям "х Р(х) или$х Р(х) называетсяоперацией квантификации, в результате чего переменная перестает быть переменной в прежнем смысле этого слова, т.е. символом, на место которого можно подставлять объекты из некоторого множества. После квантификации переменная становитсясвязаннойв отличие от других,свободныхпеременных.

Следует отметить, что на конечном множестве М×{а₁,а₂,...а_n}высказывание"х Р(х) имеет тот же смысл, что и высказывание Р(а₁)×Р(а₂)...Р(а_n), а высказывание$х Р(х) - тот же смысл, что высказывание Р(а₁)ÚР(а₂)Ú...ÚР(а_n).

Квантификация применима и к многоместным высказывательным формам.

Для двухместной высказывательной формы возможны следующие 8 комбинаций:

1. "х"y(Р(х,y)) - "для всякого х и для всякогоyР(х,y);

2. "y"х(Р(х,y)) - "для всякогоyи для всякого х Р(х,y);

3. $х$y(Р(х,y))- "существует х и существуетyтакие, что Р(x,y);

4. $y$x(Р(х,y))- "существуетyи существуетxтакие, что Р(x,y);

5. "y$x(Р(х,y))- "для всякогоyсуществует х такой, что Р(x,y);

6. $x "y(Р(х,y)) - "существует х такой, что для всякогоyР(x,y);

7. "x$y(Р(х,y))- "для всякого х существуетyтакой, что Р(x,y);

8. $y "х(Р(х,y)) - "существуетyтакой, что для всякого х Р(x,y).

Высказывания 1 и 2, а также 3 и 4 имеют один и тот же смысл и, следовательно, одно значение истинности.

Если истинно высказывание 6, то, очевидно, истинно и высказывание 5, но не наоборот.

Если истинно высказывание 8, то, очевидно, истинно и высказывание 7, но не наоборот.

Например, "x$y(х+y=0) (всякое число имеет противоположное) - истинное высказывание,$y "х(х+y=0) - ложное высказывание.

Итак, одноименные кванторы можно менять местами; разноименные кванторы нельзя менять местами; если истинно высказывание $x "y(Р(х,y)), то истинно и высказывание"y$x(Р(х,y)), то есть$x "y(Р(х,y))®"y$x(Р(х,y)).

В выражениях с кванторами применяют иногда следующие обозначения: Р₁(х)ÞР₂(х) обозначает"x(Р₁(х)®Р₂(х)); Р₁(х)ÛР₂(х) обозначает"x(Р₁(х)«Р₂(х)).

Рассмотрим отрицание предложений с кванторами.

Предложения "Все птицы летают" и "Все птицы не летают" не являются отрицанием друг друга, так как оба ложны.

Предложения "Некоторые птицы летают" и "Некоторые птицы не летают" не являются отрицанием друг друга, так как оба истинны.

На самом деле отрицанием предложения "Все птицы летают" является предложение "Неверно, что все птицы летают", что имеет тот же смысл, что и предложение "Некоторые птицы не летают".

Отрицанием предложения "Некоторые птицы летают" является предложение "Неверно, что некоторые птицы летают", что имеет тот же смысл, что предложение "Все птицы не летают".

Поэтому:

;

.

В случае наличия нескольких кванторов необходимо последовательно заменять все кванторы, например:

На языке предикатов можно составить гораздо более сложные предложения.